原子・分子物理とレーザーの問題

水素原子の発光スペクトルの波長 $\lambda$ は、リュードベリ定数を $R$ として、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)(m,n\text{は正の整数},n>m)$$
で表されるものとする。ここで $m$ は遷移の下の準位、$n$ は上の準位の主量子数である。下の準位 $m$ を固定し、上の準位 $n$ を $n=m+1,m+2,\dots$ と変えて得られる一連の線をひとまとまりのスペクトル系列とよぶ（$m=1$ がライマン系列、$m=2$ がバルマー系列）。

下の準位が $m$ である系列について、その系列で最も長い波長 ${\lambda }_{\max }$ と、$n\to \infty$ の極限で線が集まる系列限界の波長 ${\lambda }_{\infty }$ の比 $\frac{{\lambda }_{\max }}{{\lambda }_{\infty }}$ を、$m$ を用いて表せ。

原子番号 $Z$ の水素様イオン（電子を 1 個だけもつ原子・イオン）で、主量子数 $n$ の準位から $n^{\prime }$ の準位（$n>n^{\prime }$）へ電子が移るときに放出される光の波長 $\lambda$ は、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R{Z}^2\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right)$$
で与えられるとする。ここで $R$ はリュードベリ定数であり、原子核の質量の違い（換算質量による補正）は無視して、水素原子 ($Z=1$) とヘリウムイオン ${\text{He}}^{+}$ ($Z=2$) で同じ値をとるものとする。

水素原子のバルマー系列の線のうち、$n=4$ から $n^{\prime }=2$ への遷移による線（${\text{H}}_{\beta }$ 線）を考える。${\text{He}}^{+}$ の、$n^{\prime }=4$ の準位へ落ちる遷移の系列（ピッカリング系列）の中で、${\text{H}}_{\beta }$ 線とちょうど同じ波長をもつ線を出す遷移の始状態の主量子数 $n$ を求めよ。

ヘリウムイオン ${\mathrm{He}}^{+}$（原子番号 $Z=2$、電子 1 個の水素様イオン）で、電子が主量子数 $n=3$ の準位から $n^{\prime }=2$ の準位へ遷移するときに放出される光の波長 $\lambda$ を求めたい。水素様イオンの遷移で放出される光の波長は、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R{Z}^2\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right)(n>n^{\prime })$$
で与えられるものとする。ここで $R$ はリュードベリ定数であり、原子核の運動（換算質量の補正）は無視する。$\lambda$ を $R$ を用いて表せ。

水素原子 $\mathrm{H}$ と、ヘリウムイオン ${}^4{\mathrm{He}}^{+}$（電子を 1 個だけもつ水素様イオン、原子番号 $Z=2$）の発光スペクトルを比べる。原子番号 $Z$、核の質量 $M$ の水素様原子で、主量子数 $n$ の準位から $n^{\prime }$ の準位（$n>n^{\prime }$）へ電子が移るときに放出される光の真空中での波長 $\lambda$ は、核の有限質量（換算質量）の効果を含めて
$$\frac{1}{\lambda }=Z^2{R}_M\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right),R_M=\frac{R_{\infty }}{1+m_e/M}$$
で与えられるものとする。ここで $R_{\infty }=1.0973732\times 10^7{\text{m}}^{-1}$、陽子と電子の質量比を $m_p/m_e=1836.15$、${}^4\mathrm{He}$ 核（$\alpha$ 粒子）と電子の質量比を $m_{\alpha }/m_e=7294.30$ とする。微細構造・ラムシフトなどの補正は無視する。

水素のバルマー系列の $\mathrm{H}\alpha$ 線（$n=3\to n^{\prime }=2$）の波長を ${\lambda }_{\mathrm{H}}$ とする。${}^4{\mathrm{He}}^{+}$ のピッカリング系列（下の準位が $n^{\prime }=4$ の系列）の線のうち、波長が ${\lambda }_{\mathrm{H}}$ に最も近い線の波長を ${\lambda }_{\mathrm{He}}$ とするとき、差 ${\lambda }_{\mathrm{H}}-{\lambda }_{\mathrm{He}}$ を $\text{nm}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

曲率半径 $R_1=R_2=0.60\text{m}$ の 2 枚の凹面鏡を、間隔 $L=0.30\text{m}$ で向かい合わせた対称な光共振器を考える。内部は真空（屈折率 $1$）とし、光速は $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

この共振器のエルミート・ガウスモード ${\mathrm{TEM}}_{mnq}$（$m,n=0,1,2,\dots$ は横モード次数、$q$ は正の整数の縦モード次数）の共振周波数は、
$${\nu }_{mnq}=\frac{c}{2L}\left[q+\frac{m+n+1}{\pi }\arccos \sqrt{g_1{g}_2}\right],g_i=1-\frac{L}{R_i}(i=1,2)$$
で与えられるものとする。

ある基本モード ${\mathrm{TEM}}_{00q}$ の共振周波数 ${\nu }_{00q}$ に着目する。すべてのモード（横モード・縦モードの次数を問わない）の共振周波数のうち、${\nu }_{00q}$ より高く、かつ ${\nu }_{00q}$ に最も近いものと ${\nu }_{00q}$ との差を、$\text{MHz}$ 単位で、分数を用いて正確に求めよ。ただし $q$ は十分大きいものとする。