原子・分子物理とレーザー

ヘリウムイオン ${\mathrm{He}}^{+}$（原子番号 $Z=2$、電子 1 個の水素様イオン）で、電子が主量子数 $n=3$ の準位から $n^{\prime }=2$ の準位へ遷移するときに放出される光の波長 $\lambda$ を求めたい。水素様イオンの遷移で放出される光の波長は、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R{Z}^2\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right)(n>n^{\prime })$$
で与えられるものとする。ここで $R$ はリュードベリ定数であり、原子核の運動（換算質量の補正）は無視する。$\lambda$ を $R$ を用いて表せ。

LS 結合が成り立つある原子で、項記号 ${}^{4}D$ で表される項（全軌道角運動量量子数 $L$ と全スピン量子数 $S$ が決まった状態の組）を考える。項記号は ${}^{2S+1}{L}_J$ の形で書き、$L=0,1,2,3,\dots$ をそれぞれ $S,P,D,F,\dots$ で表す。全角運動量 $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ の量子数 $J$ は $|L-S|$ から $L+S$ まで $1$ 刻みの値をとる。

この項が微細構造によって分かれてできる準位の $J$ の値をすべて求めよ。

質量 $m$ の原子 A と質量 $3m$ の原子 B からなる異核 2 原子分子 AB を、核間距離 $r_0$ が一定の剛体回転子とみなす。この分子の回転準位は、回転量子数 $J=0,1,2,\dots$ を用いて
$$E_J=\frac{{\hslash }^2}{2\mu r_0^2}J(J+1)$$
で与えられる。ここで $\mu$ は 2 原子の換算質量、$\hslash$ はディラック定数（換算プランク定数）である。

この分子が光子を 1 個吸収して、回転準位 $J=2$ から $J=3$ へ遷移した。吸収された光子のエネルギーを $\hslash$, $m$, $r_0$ を用いて表せ。

水素分子 ${\mathrm{H}}_2$ と、その一方の原子を重水素 D に置きかえた分子 $\mathrm{HD}$ の振動を考える。どちらの分子も、核間の結合を力の定数 $k$ のばねとみなす調和振動子で近似でき、振動準位は
$$E_v=\hslash \omega \left(v+\frac{1}{2}\right),\omega =\sqrt{\frac{k}{\mu }}(v=0,1,2,\dots )$$
で与えられる（$\mu$ は 2 原子の換算質量、$\hslash$ はディラック定数）。

化学結合は電子によって決まるので、${\mathrm{H}}_2$ と $\mathrm{HD}$ で力の定数 $k$ は等しいとする。また、H 原子の質量を $m$、D 原子の質量を $2m$ とする。$v=0$ から $v=1$ への振動遷移で吸収される光の振動数について、$\mathrm{HD}$ の値は ${\mathrm{H}}_2$ の値の何倍か。正確な値で求めよ。

エネルギー差 $h\nu$ の 2 準位（下の準位 1、上の準位 2）をもつ原子の集団が、温度 $T$ の黒体放射と熱平衡にある。黒体放射のエネルギー密度（単位振動数あたり）はプランクの式
$$u(\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\cdot \frac{1}{e^{h\nu /k_{B}T}-1}$$
で与えられる（$h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。上の準位の原子 1 個あたり、単位時間に自然放出が起こる確率は $A_{21}$、誘導放出が起こる確率は $B_{21}u(\nu )$ であり、アインシュタイン係数の間には
$$A_{21}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}{B}_{21}$$
の関係がある。

$\frac{h\nu }{k_{B}T}=\log 3$ のとき、上の準位の原子が単位時間に自然放出を起こす確率は、誘導放出を起こす確率の何倍か。

2 枚の平面鏡を真空中で距離 $L=0.30\text{m}$ だけ離して向かい合わせた光共振器（ファブリ・ペロー共振器）がある。光速を $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$ とする。この共振器の隣り合う縦モードの周波数間隔 $\Delta \nu$ は何 MHz か。整数で答えよ。

ナトリウム原子の基底状態 $3s$（主量子数 $n=3$、方位量子数 $l=0$）の項値（イオン化極限から測った束縛エネルギーを波数で表したもの）は $T(3,0)=4.145\times 10^4{\text{cm}}^{-1}$ である。アルカリ原子の項値が量子欠損 ${\delta }_l$ を用いて
$$T(n,l)=\frac{R}{(n-{\delta }_l{)}^2}$$
と表されるとし、有効主量子数 $n-{\delta }_l$ は正とする。リュードベリ定数を $R=1.097\times 10^5{\text{cm}}^{-1}$ とする。$s$ 状態の量子欠損 ${\delta }_0$ を有効数字 3 桁で求めよ。

ある原子の項 ${}^{3}D$（全スピン量子数 $S=1$、全軌道角運動量量子数 $L=2$）が、スピン軌道相互作用
$$H_{\text{SO}}=A\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}$$
によって全角運動量量子数 $J$ の異なる準位に分裂する。ここで $\mathbf{L}$, $\mathbf{S}$ は $\hslash$ を単位とした角運動量演算子（$\hslash =1$ とする）で、$A$ は定数である。$H_{\text{SO}}$ による各準位のエネルギーのずれ $\Delta E_J$ を、$J=1,2,3$ の順に組 $(\Delta E_1,\Delta E_2,\Delta E_3)$ として $A$ を用いて表せ。

炭素原子の基底電子配置は $1s^{2}2s^{2}2p^2$ である。閉殻の $1s^2$, $2s^2$ は全スピン・全軌道角運動量に寄与しないものとし、$LS$ 結合が成り立つとする。フントの規則を用いて、炭素原子の基底準位の全スピン量子数 $S$、全軌道角運動量量子数 $L$、全角運動量量子数 $J$ を求め、組 $(S,L,J)$ の形で答えよ。

窒素原子の基底電子配置は $1s^{2}2s^{2}2p^3$ である。閉殻の $1s^2$, $2s^2$ は全スピン・全軌道角運動量に寄与しないものとし、$LS$ 結合が成り立つとする。不完全殻 $2p^3$ の 3 個の等価電子について、パウリの排他原理を満たす微視的状態を $(M_L,M_S)$ で数え上げて許される $LS$ 項をすべて求め、それらの項から生じる、全角運動量量子数 $J$ の異なる準位（${}^{2S+1}{L}_J$）は全部でいくつあるか求めよ。

ナトリウム原子の準位 ${}^2{P}_{3/2}$（$S=\frac{1}{2}$, $L=1$, $J=\frac{3}{2}$）を、大きさ $B$ の一様な弱い磁場の中に置く。磁場によるエネルギーのずれは $\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$（${\mu }_B$ はボーア磁子、$M_J$ は磁気量子数）で表され、ランデの $g$ 因子は
$$g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$$
で与えられるとする（電子スピンの $g$ 因子は $2$ とする近似）。この準位が分裂してできる副準位のうち、隣り合う 2 つの副準位のエネルギー間隔を ${\mu }_B$, $B$ を用いて表せ。

ある異核 2 原子分子の振動回転準位のエネルギーを、波数単位（${\text{cm}}^{-1}$）で
$$\tilde{E}(v,J)={\tilde{\nu }}_0\left(v+\frac{1}{2}\right)+BJ(J+1)$$
と表す。ここで $v=0,1,2,\dots$ は振動量子数、$J=0,1,2,\dots$ は回転量子数で、${\tilde{\nu }}_0=2886{\text{cm}}^{-1}$、回転定数 $B=10.5{\text{cm}}^{-1}$ は振動状態によらないとする。$v=0\to v=1$ の吸収で、選択則 $\Delta v=+1$, $\Delta J=\pm 1$ に従う線のうち、R 枝の $R(0)$（$J=0\to J=1$）と P 枝の $P(1)$（$J=1\to J=0$）の波数を ${\text{cm}}^{-1}$ 単位で、この順に組 $({\tilde{\nu }}_{R(0)},{\tilde{\nu }}_{P(1)})$ として求めよ。

4 準位レーザー媒質を考える。基底準位 $0$ の原子は、一定の速さ $R$（単位体積・単位時間あたりの原子数）でポンプ準位 $3$ に励起され、準位 $3$ からただちに上準位 $2$ へ緩和する。上準位 $2$ の原子は寿命 ${\tau }_2=230\mu \text{s}$ で、すべて下準位 $1$ へ自然に緩和し、下準位 $1$ の原子は寿命 ${\tau }_1=0.10\mu \text{s}$ で基底準位 $0$ へ緩和する。準位 $2$, $1$ の単位体積あたりの原子数を $N_2$, $N_1$ とし、レート方程式
$$\frac{d{N}_2}{dt}=R-\frac{N_2}{{\tau }_2},\frac{d{N}_1}{dt}=\frac{N_2}{{\tau }_2}-\frac{N_1}{{\tau }_1}$$
が成り立つとする（誘導放出・吸収は無視する）。定常状態での比 $\frac{N_2}{N_1}$ を求めよ。

ナトリウム原子の D${}_1$ 線は、上の準位 ${}^2{P}_{1/2}$ から下の準位 ${}^2{S}_{1/2}$ への遷移で放出される。この原子を大きさ $B$ の一様な弱い磁場の中に置くと、各準位は $\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$（${\mu }_B$ はボーア磁子、$M_J$ は磁気量子数）だけずれる。ランデの $g$ 因子は
$$g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$$
とし（電子スピンの $g$ 因子は $2$ とする近似）、遷移の選択則は $\Delta M_J=M_J^{\prime }-M_J^{\prime \prime }=0,\pm 1$（$M_J^{\prime }$ は上の準位、$M_J^{\prime \prime }$ は下の準位の磁気量子数）とする。磁場によって D${}_1$ 線は複数の成分に分かれる。各成分の光子エネルギーの、磁場がないときからのずれを ${\mu }_{B}B$ を単位として表した値をすべて求め、集合で答えよ。

反射率 $R_1=1.00$ と $R_2=0.90$ の 2 枚の鏡で光共振器をつくり、その間に長さ $l=0.50\text{m}$ の利得媒質を置いたレーザーがある。利得媒質中で光の強度は単位長さあたりの利得係数 $g$ で $e^{gl}$ 倍に増幅され、損失は鏡の透過だけとする（媒質内の吸収・散乱などの損失は無視する）。共振器を 1 往復した光の強度が減らないための条件
$$R_1{R}_2{e}^{2gl}\ge 1$$
から、発振に必要な利得係数の最小値（しきい値利得）$g_{\text{th}}$ を ${\text{m}}^{-1}$ 単位で求めよ。答えは自然対数 $\log$ を用いた正確な値で表せ。

LS 結合が成り立つ原子のエネルギー準位 ${}^2{D}_{3/2}$ を考える。この原子を磁束密度の大きさ $B$ の一様な弱い磁場中に置くと（異常ゼーマン効果）、準位は磁気量子数 $M_J$ の値ごとに分裂し、そのエネルギーのずれは $\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$ で表される。ここで ${\mu }_B$ はボーア磁子、$g_J$ はランデの g 因子であり、電子スピンの g 因子は $g_s=2$、軌道の g 因子は $g_l=1$ とする。磁場はスピン軌道相互作用による微細構造の分裂に比べて十分弱いものとする。

分裂した副準位のうち、最もエネルギーの高い準位と最も低い準位のエネルギー差を、${\mu }_B$ と $B$ を用いて表せ。

LS 結合が成り立つ原子の項 ${}^{4}D$（全スピン量子数 $S=\frac{3}{2}$、全軌道角運動量量子数 $L=2$）を考える。外部磁場はないものとし、この項はスピン軌道相互作用
$$H_{\text{SO}}=A\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}$$
によって、全角運動量量子数 $J$ の値ごとの準位（微細構造準位）に分裂するとする。ここで $\mathbf{L},\mathbf{S}$ は $\hslash$ を単位とした全軌道角運動量・全スピン角運動量の演算子、$A>0$ はエネルギーの次元をもつ定数で、$H_{\text{SO}}$ は 1 次の摂動として扱えるものとする。この項から生じる微細構造準位のうち、エネルギーが最も高い準位と最も低い準位のエネルギー差を $A$ を用いて表せ。

真空中に置かれた長さ $L=0.25\text{m}$ のファブリ・ペロー型光共振器（2 枚の平面鏡を向かい合わせたもの）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=1.00$, $R_2=0.96$ で、共振器内では鏡の透過による損失のほかに損失はなく、利得媒質もない（受動共振器）とする。光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、往復時間 $t_{\mathrm{r}}=\frac{2L}{c}$ ごとに $R_1{R}_2$ 倍になり、時間について連続的に指数関数的に減衰するとみなす。すなわち強度を $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ と書き、$e^{-t_{\mathrm{r}}/{\tau }_c}=R_1{R}_2$ により光子寿命 ${\tau }_c$ を定める。共振器モードの線幅（周波数の半値全幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられるものとする。

この共振器の 1 つの縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ は何 MHz か。有効数字 2 桁で求めよ。

原子番号 $Z$ の水素様イオン（電子を 1 個だけもつ原子・イオン）で、主量子数 $n$ の準位から $n^{\prime }$ の準位（$n>n^{\prime }$）へ電子が移るときに放出される光の波長 $\lambda$ は、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R{Z}^2\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right)$$
で与えられるとする。ここで $R$ はリュードベリ定数であり、原子核の質量の違い（換算質量による補正）は無視して、水素原子 ($Z=1$) とヘリウムイオン ${\text{He}}^{+}$ ($Z=2$) で同じ値をとるものとする。

水素原子のバルマー系列の線のうち、$n=4$ から $n^{\prime }=2$ への遷移による線（${\text{H}}_{\beta }$ 線）を考える。${\text{He}}^{+}$ の、$n^{\prime }=4$ の準位へ落ちる遷移の系列（ピッカリング系列）の中で、${\text{H}}_{\beta }$ 線とちょうど同じ波長をもつ線を出す遷移の始状態の主量子数 $n$ を求めよ。

エネルギー差 $E_2-E_1=h\nu$ の 2 つの準位（下の準位 1、上の準位 2）をもつ原子の集団が、絶対温度 $T$ の熱平衡にある黒体放射の中に置かれている。放射のエネルギー密度のスペクトル（単位体積・単位振動数あたり）はプランクの式
$$\rho (\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{\exp \left(\frac{h\nu }{k_{\mathrm{B}}T}\right)-1}$$
で与えられるとする。準位 2 にある 1 個の原子が単位時間あたりに自然放出を起こす確率を $A_{21}$、誘導放出を起こす確率を $B_{21}\rho (\nu )$ とし、アインシュタイン係数の間には
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}$$
の関係があるものとする。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数である。

遷移の波長（真空中）を $\lambda$ とする。準位 2 の原子について、誘導放出の確率と自然放出の確率がちょうど等しくなる温度 $T$ を、$h$, $c$, $k_{\mathrm{B}}$, $\lambda$ を用いて表せ。

長さ $L=0.50\text{m}$ の 2 枚の平面鏡からなるファブリ・ペロー型の光共振器（受動共振器、内部は真空で屈折率 $1$）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=0.99$, $R_2=0.98$ であり、鏡での透過以外の損失（回折損失・吸収など）はないものとする。光速を $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、1 往復（所要時間 $\frac{2L}{c}$）ごとに $R_1{R}_2$ 倍になる。これを連続的な指数関数的減衰 $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ とみなし、光子寿命 ${\tau }_c$ を
$$e^{-2L/(c{\tau }_c)}=R_1{R}_2$$
で定める。このとき共振器の各縦モードのスペクトルはローレンツ型となり、その半値全幅（線幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられる。

縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ を MHz 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つ原子の項 ${}^{3}F$（全スピン量子数 $S=1$、全軌道角運動量量子数 $L=3$）は、スピン軌道相互作用によって全角運動量量子数 $J$ の異なるいくつかの準位に分かれている。そのうちの 1 つの準位に着目し、この原子を磁束密度の大きさ $B$ の一様な弱い磁場中に置いたところ（異常ゼーマン効果）、着目した準位は等間隔に並ぶ 7 個の副準位に分裂した。

弱い磁場中での準位のエネルギーのずれは $\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$（${\mu }_B$ はボーア磁子、$M_J$ は磁気量子数、$g_J$ はランデの $g$ 因子）で与えられ、電子スピンの $g$ 因子は $g_s=2$ とする。

隣り合う副準位のエネルギー差を ${\mu }_{B}B$ で割った値を求めよ。

閉殻の外側に $3p$ 電子を 2 個だけもつ原子（電子配置 $[\text{Ne}]3s^{2}3p^2$、例えばケイ素 Si）を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、閉殻の電子は全スピン・全軌道角運動量に寄与しないものとする。2 個の $3p$ 電子はパウリの排他原理に従う。

この電子配置から生じる LS 項（${}^{2S+1}L$）は、スピン軌道相互作用によって全角運動量量子数 $J$ の異なる準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ に分かれる（外部磁場はなく、同じ $J$ の $2J+1$ 個の状態は縮退しているものとする）。この電子配置から生じる準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ の総数を $N$、フントの規則で決まる基底準位の全角運動量量子数を $J_0$ とする。組 $(N,J_0)$ をこの順に求めよ。

水素原子の発光スペクトルの波長 $\lambda$ は、リュードベリ定数を $R$ として、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)(m,n\text{は正の整数},n>m)$$
で表されるものとする。ここで $m$ は遷移の下の準位、$n$ は上の準位の主量子数である。下の準位 $m$ を固定し、上の準位 $n$ を $n=m+1,m+2,\dots$ と変えて得られる一連の線をひとまとまりのスペクトル系列とよぶ（$m=1$ がライマン系列、$m=2$ がバルマー系列）。

下の準位が $m$ である系列について、その系列で最も長い波長 ${\lambda }_{\max }$ と、$n\to \infty$ の極限で線が集まる系列限界の波長 ${\lambda }_{\infty }$ の比 $\frac{{\lambda }_{\max }}{{\lambda }_{\infty }}$ を、$m$ を用いて表せ。

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つ原子のエネルギー準位 ${}^4{F}_{3/2}$（全スピン量子数 $S=\frac{3}{2}$、全軌道角運動量量子数 $L=3$、全角運動量量子数 $J=\frac{3}{2}$）を考える。この原子を磁束密度の大きさ $B$ の一様な弱い磁場中に置くと、準位は磁気量子数 $M_J$ の値ごとに分裂し、各副準位のエネルギーのずれは
$$\Delta E=g_J{\mu }_{\text{B}}B{M}_J$$
で与えられる。ここで ${\mu }_{\text{B}}$ はボーア磁子、$g_J$ はランデの $g$ 因子であり、電子のスピン $g$ 因子は $g_s=2$、軌道の $g$ 因子は $g_l=1$ とする。

分裂してできた副準位のうち、最もエネルギーの高いものと最も低いものとのエネルギー差を、${\mu }_{\text{B}}$ と $B$ を用いて表せ。

閉殻の外側に $3d$ 電子を 7 個もつイオン（電子配置 $[\text{Ar}]3d^7$、例えば ${\text{Co}}^{2+}$）の基底準位を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、閉殻の電子は全スピン・全軌道角運動量に寄与しないものとする。基底準位はフントの規則で決まるものとする。

この基底準位の全スピン量子数 $S$、全軌道角運動量量子数 $L$、全角運動量量子数 $J$ を、組 $(S,L,J)$ の形でこの順に求めよ。

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つ原子の、全スピン量子数 $S=\frac{3}{2}$ のある 1 つのエネルギー準位（全軌道角運動量量子数 $L$、全角運動量量子数 $J$ をもつ）を考える。

この原子を磁束密度の大きさ $B$ の一様な弱い磁場中に置いた（異常ゼーマン効果）。この準位は磁気量子数 $M_J$ の値ごとに分裂し、そのエネルギーのずれは
$$\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$$
で与えられる。ここで ${\mu }_B$ はボーア磁子である。ランデの $g$ 因子 $g_J$ は、電子スピンの $g$ 因子を $2$ とする近似で
$$g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$$
とする。

観測の結果、この準位は等間隔に並ぶ $4$ 本の副準位に分裂し、最も高い副準位と最も低い副準位のエネルギー差は $\frac{18}{5}{\mu }_{B}B$ であった。この準位の全軌道角運動量量子数 $L$ を求めよ。

気体レーザーの媒質中の 2 つの準位（下の準位 $1$、縮退度 $g_1$；上の準位 $2$、縮退度 $g_2$）の間の遷移で発振するレーザーを考える。この遷移について次のように与える。

• 遷移の中心波長は真空中で $\lambda =632.8\text{nm}$、媒質の屈折率は $1$ とする
• 準位 $2\to 1$ の自然放出のアインシュタイン A 係数は $A_{21}=3.40\times 10^6{\text{s}}^{-1}$
• 遷移の規格化された線形関数 $g(\nu )$（${\int }_0^{\infty }g(\nu )d\nu =1$）の中心振動数 ${\nu }_0$ での値は $g({\nu }_0)=6.00\times 10^{-10}\text{s}$

アインシュタインの B 係数は、放射の単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度 $\rho (\nu )$ に対して定義されたものとし、関係式
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3},g_1{B}_{12}=g_2{B}_{21}$$
を用いてよい（$h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速）。

この媒質（長さ $l=0.400\text{m}$）が、強度反射率 $R_1=1.000$ と $R_2=0.980$ の 2 枚の鏡からなる共振器の内部全体を満たしている。鏡での反射損失以外の損失（散乱・吸収・回折など）は無視し、光は振動数 ${\nu }_0$ で共振器軸に沿って往復するものとする。また、レーザー光の強度は小さく、準位の占有数密度は光によって変化しない（小信号近似）とする。

上の準位と下の準位の単位体積あたりの原子数をそれぞれ $N_2$, $N_1$ とするとき、発振が起こるために必要な反転分布 $\Delta N=N_2-\frac{g_2}{g_1}{N}_1$ のしきい値を、単位 ${\text{m}}^{-3}$ で有効数字 3 桁で求めよ。

閉殻の外側に $4f$ 電子を 3 個もつ 3 価のネオジムイオン ${\text{Nd}}^{3+}$（電子配置 $[\text{Xe}]4f^3$）の基底準位を考える。

• LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとする。
• 基底準位はフントの規則で決まるものとする。
• 閉殻の電子は全スピン・全軌道角運動量に寄与しない。
• 電子スピンの $g$ 因子は $g_s=2$ とする。
• 原子核のスピンは無視する。

この基底準位の全角運動量量子数を $J$、ランデの $g$ 因子を $g_J$ とすると、磁気モーメントの大きさは $\mu =g_J\sqrt{J(J+1)}{\mu }_B$ と表される（${\mu }_B$ はボーア磁子）。

$\mu /{\mu }_B=g_J\sqrt{J(J+1)}$ の値を求めよ。答えは根号を含む正確な値で答えよ。

曲率半径 $R_1=R_2=0.60\text{m}$ の 2 枚の凹面鏡を、間隔 $L=0.30\text{m}$ で向かい合わせた対称な光共振器を考える。内部は真空（屈折率 $1$）とし、光速は $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

この共振器のエルミート・ガウスモード ${\mathrm{TEM}}_{mnq}$（$m,n=0,1,2,\dots$ は横モード次数、$q$ は正の整数の縦モード次数）の共振周波数は、
$${\nu }_{mnq}=\frac{c}{2L}\left[q+\frac{m+n+1}{\pi }\arccos \sqrt{g_1{g}_2}\right],g_i=1-\frac{L}{R_i}(i=1,2)$$
で与えられるものとする。

ある基本モード ${\mathrm{TEM}}_{00q}$ の共振周波数 ${\nu }_{00q}$ に着目する。すべてのモード（横モード・縦モードの次数を問わない）の共振周波数のうち、${\nu }_{00q}$ より高く、かつ ${\nu }_{00q}$ に最も近いものと ${\nu }_{00q}$ との差を、$\text{MHz}$ 単位で、分数を用いて正確に求めよ。ただし $q$ は十分大きいものとする。

原子核の電荷が $Ze$（$Z$ は正の整数）で、電子を 1 個だけもつ水素様イオンの発光スペクトルを真空中で観測した。下の準位の主量子数が共通の値 $n^{\prime }$（正の整数）であるひとつのスペクトル系列に属する線のうち、波長が最も長い線の波長は ${\lambda }_1=450.2\text{nm}$、2 番目に長い線の波長は ${\lambda }_2=291.7\text{nm}$ であった。

波数はリュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=Z^{2}R\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right)(n=n^{\prime }+1,n^{\prime }+2,\dots )$$
で与えられるものとし、リュードベリ定数は $R=1.097\times 10^7{\text{m}}^{-1}$ とする（原子核の運動による補正、微細構造は無視する）。

この系列の下の準位の主量子数 $n^{\prime }$ と原子核の電荷数 $Z$ を、この順に組 $(n^{\prime },Z)$ で求めよ。

閉殻の外側に $4f$ 電子を 9 個もつイオン（電子配置 $[\text{Xe}]4f^9$）の基底状態を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、基底項はフントの規則で決まるものとする。閉殻の電子は全スピン角運動量・全軌道角運動量に寄与しない。

このイオンの基底状態の全スピン量子数 $S$、全軌道角運動量量子数 $L$、全角運動量量子数 $J$ を求め、組 $(S,L,J)$ の形でこの順に答えよ。

2 原子分子のエネルギー準位を、調和振動子と剛体回転子の和
$$E(v,J)=\hslash \omega \left(v+\frac{1}{2}\right)+\frac{{\hslash }^2}{2\mu r_0^2}J(J+1)(v,J=0,1,2,\dots )$$
で近似する。ここで $\omega =\sqrt{k/\mu }$、$k$ は結合のばね定数、$\mu$ は換算質量、$r_0$ は核間距離であり、振動と回転の相互作用や非調和性は無視する。赤外吸収の選択則は $\Delta v=+1$, $\Delta J=\pm 1$ とし、$v=0$ から $v=1$ への吸収帯（基本帯）を考える。$\Delta J=+1$ の線を R 枝、$\Delta J=-1$ の線を P 枝とよび、始状態の回転量子数が $J$ の線をそれぞれ $\mathrm{R}(J)$, $\mathrm{P}(J)$ と書く。

分子 ${}^1\mathrm{H}{}^{35}\mathrm{Cl}$ の基本帯について、帯の中心の振動数 ${\nu }_0=\omega /(2\pi )$ と、帯の中心をはさんで隣り合う 2 本の線 $\mathrm{R}(0)$ と $\mathrm{P}(1)$ の振動数の差 $\Delta$ が測定されている。

同位体分子 ${}^2\mathrm{H}{}^{35}\mathrm{Cl}$（$\mathrm{D}{}^{35}\mathrm{Cl}$）の基本帯の $\mathrm{R}(0)$ 線の振動数を、${\nu }_0$ と $\Delta$ を用いて表せ。ただし、原子の質量は ${}^1\mathrm{H}$, ${}^2\mathrm{H}$, ${}^{35}\mathrm{Cl}$ でそれぞれ $1\mathrm{u}$, $2\mathrm{u}$, $35\mathrm{u}$ とし、ボルン・オッペンハイマー近似により $k$ と $r_0$ は 2 つの同位体分子で等しいとする。

2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.300\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー型共振器の中に、長さ $l=0.200\text{m}$ の利得媒質を置いたガスレーザーを考える。共振器内の屈折率はどこでも $1$ とみなし、光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。鏡の強度反射率は一方が $R_1=1.00$、他方（出力鏡）が $R_2=0.90$ であり、鏡での反射以外の損失（散乱・吸収・回折）は無視する。横モードは基本モード（${\text{TEM}}_{00}$）だけを考える。

利得媒質の小信号利得係数（強度について、単位長さあたり）は、ドップラー広がりによって周波数 $\nu$ の関数として
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_{\text{D}}{)}^2}\right]$$
と表されるとする。ここで ${\nu }_0$ は利得の中心周波数、$\Delta {\nu }_{\text{D}}=1.60\text{GHz}$ は利得曲線の半値全幅であり、中心での値は $g_{0}l=0.210$ である。また、縦モードの 1 つが周波数 ${\nu }_0$ にちょうど一致しているものとする。必要なら $\log 0.90=-0.105$ を用いてよい。

共振器を 1 往復する間の小信号利得（媒質を 2 回通る）が鏡の反射による損失を上回る、すなわち $R_1{R}_2{e}^{2g(\nu )l}>1$ を満たす縦モードの数を求めよ。

アルカリ金属原子リチウム（Li）の価電子のエネルギー準位は、主量子数 $n$、軌道角運動量量子数 $l$ の準位について、イオン化の極限を基準とした波数単位の項値
$$T(n,l)=\frac{R}{(n-{\delta }_l{)}^2}$$
で表されるものとする（準位のエネルギーは $-hcT(n,l)$）。ここで $R$ はリュードベリ定数（波数単位）、${\delta }_l$ は $l$ だけで決まり $n$ によらない量子欠損で、$0\le {\delta }_l<1$ とする（したがって $n\ge 2$ の準位では有効主量子数 $n-{\delta }_l$ は正である）。微細構造は無視する。

Li の基底状態は $2s$ であり、主系列は $np\to 2s$（$n=2,3,4,\dots$）の遷移による発光線の系列である。主系列の極限（$n\to \infty$）の波数を ${\sigma }_L$、主系列の第 1 線（$2p\to 2s$）の波数を ${\sigma }_1$ とする。

主系列の第 2 線（$3p\to 2s$）の波数を、$R$、${\sigma }_L$、${\sigma }_1$ を用いて表せ。

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つ原子のある準位は、全スピン量子数が $S=\frac{3}{2}$（4 重項）であることがわかっているが、全軌道角運動量量子数 $L$ と全角運動量量子数 $J$ はわかっていない。この原子を磁束密度の大きさ $B$ の一様な弱い磁場中に置いたところ（異常ゼーマン効果）、この準位は等間隔に並ぶ $4$ 本の副準位に分裂し、隣り合う副準位のエネルギー差は $\frac{2}{5}{\mu }_{B}B$ であった（${\mu }_B$ はボーア磁子）。

弱い磁場中での副準位のエネルギーのずれは $\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$（$M_J=-J,-J+1,\dots ,J$）で与えられ、ランデの g 因子は電子のスピン g 因子を $2$ として
$$g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$$
とする。この準位の $L$ を求めよ。ただし $L$ は $0$ 以上の整数で、$J$ は $|L-S|\le J\le L+S$ を満たす。

水素原子 $\mathrm{H}$ と、ヘリウムイオン ${}^4{\mathrm{He}}^{+}$（電子を 1 個だけもつ水素様イオン、原子番号 $Z=2$）の発光スペクトルを比べる。原子番号 $Z$、核の質量 $M$ の水素様原子で、主量子数 $n$ の準位から $n^{\prime }$ の準位（$n>n^{\prime }$）へ電子が移るときに放出される光の真空中での波長 $\lambda$ は、核の有限質量（換算質量）の効果を含めて
$$\frac{1}{\lambda }=Z^2{R}_M\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right),R_M=\frac{R_{\infty }}{1+m_e/M}$$
で与えられるものとする。ここで $R_{\infty }=1.0973732\times 10^7{\text{m}}^{-1}$、陽子と電子の質量比を $m_p/m_e=1836.15$、${}^4\mathrm{He}$ 核（$\alpha$ 粒子）と電子の質量比を $m_{\alpha }/m_e=7294.30$ とする。微細構造・ラムシフトなどの補正は無視する。

水素のバルマー系列の $\mathrm{H}\alpha$ 線（$n=3\to n^{\prime }=2$）の波長を ${\lambda }_{\mathrm{H}}$ とする。${}^4{\mathrm{He}}^{+}$ のピッカリング系列（下の準位が $n^{\prime }=4$ の系列）の線のうち、波長が ${\lambda }_{\mathrm{H}}$ に最も近い線の波長を ${\lambda }_{\mathrm{He}}$ とするとき、差 ${\lambda }_{\mathrm{H}}-{\lambda }_{\mathrm{He}}$ を $\text{nm}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

基底電子状態が ${}^1\Sigma$ で、振動の基底状態 $v=0$ にある 2 原子分子の回転ラマンスペクトルを考える。回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の回転準位のエネルギーを $hc$ で割って波数単位（${\text{cm}}^{-1}$）で表したものを、遠心力ひずみを含めて
$$F(J)=BJ(J+1)-D{J}^2(J+1{)}^2$$
とする。ここで $B$ は回転定数、$D$ は遠心力ひずみ定数で、どちらも正の定数である。回転ラマン遷移の選択則は $\Delta J=0,\pm 2$ であり、ストークス側の回転ラマン線（S 枝）は $J\to J+2$ の遷移で生じる。この遷移による線を $S(J)$ と書き、そのラマンシフト（入射光と散乱光の波数の差）の大きさを $\Delta {\tilde{\nu }}_S(J)=F(J+2)-F(J)$ とする。

高分解能の測定により、次の 2 本の線のラマンシフトが得られた（測定誤差は無視できるものとする）。
$$\Delta {\tilde{\nu }}_S(0)=14.99964{\text{cm}}^{-1},\Delta {\tilde{\nu }}_S(10)=114.87764{\text{cm}}^{-1}$$

さらに、この分子の振動を調和振動子とみなしたときの振動波数を $\tilde{\omega }$（${\text{cm}}^{-1}$ 単位）とすると、遠心力ひずみ定数との間にクラッツァーの関係
$$D=\frac{4B^3}{{\tilde{\omega }}^2}$$
が成り立つものとする（回転定数の振動準位による違いは無視し、上の $B$ をそのまま用いる）。

$\tilde{\omega }$ の値を ${\text{cm}}^{-1}$ 単位の数値で求めよ。

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つアルカリ原子の、上の準位 ${}^2{D}_{3/2}$（$S=\frac{1}{2}$, $L=2$, $J=\frac{3}{2}$）から下の準位 ${}^2{P}_{3/2}$（$S=\frac{1}{2}$, $L=1$, $J=\frac{3}{2}$）への電気双極子遷移による発光線を考える。

この原子を磁束密度 $B$ の一様な静磁場の中に置く。磁場は弱く、ゼーマン分裂は微細構造の間隔よりも十分小さい（異常ゼーマン効果の領域）とする。このとき、各準位は磁気量子数 $M_J$ ごとに
$$\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$$
だけずれる。ここで ${\mu }_B$ はボーア磁子、$g_J$ はランデの $g$ 因子であり、電子スピンの $g$ 因子は $g_s=2$、軌道の $g$ 因子は $g_l=1$ とする。核スピンの影響は無視する。

遷移の選択則は $\Delta M_J=0,\pm 1$ であり、このうち $\Delta M_J=\pm 1$ の遷移で出る光を $\sigma$ 成分とよぶ。磁場がないときの光子のエネルギーを $h{\nu }_0$ として、$\sigma$ 成分の各スペクトル線の光子のエネルギーの変化 $h\nu -h{\nu }_0$ を ${\mu }_{B}B$ を単位として表した値をすべて求め、集合として答えよ。

異核 2 原子分子の純回転スペクトルを考える。分子は電子基底状態（${}^1\Sigma$）かつ振動の基底状態 $v=0$ にあるとする。遠心力ひずみを考慮すると、回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の準位のエネルギーは
$$E_J=h\left[BJ(J+1)-D{J}^2(J+1{)}^2\right]$$
で表される。ここで $h$ はプランク定数であり、回転定数 $B$ と遠心力ひずみ定数 $D$ はどちらも振動数の単位（Hz）で表した正の定数である。電気双極子遷移の選択則は $\Delta J=\pm 1$ である。

この分子のマイクロ波吸収スペクトルを測定したところ、$J=1\to 2$ の吸収線が $199993.6\text{MHz}$、$J=2\to 3$ の吸収線が $299978.4\text{MHz}$ に観測された。

また、分子の振動を調和振動子とみなしたときの振動数を ${\nu }_e$（Hz）とすると、$B$, $D$, ${\nu }_e$ の間には関係式（クラッツァーの関係）
$$D=\frac{4B^3}{{\nu }_e^2}$$
が成り立つものとする。

この分子の振動数 ${\nu }_e$ を THz 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。

閉殻の外側に $3d$ 電子を 2 個だけもつ原子またはイオン（電子配置 $[\text{Ar}]3d^2$、例えば ${\text{Ti}}^{2+}$）を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、閉殻の電子は全スピン角運動量・全軌道角運動量に寄与しないとする。2 個の $3d$ 電子は同じ $n,l$ をもつ等価電子なので、パウリの排他原理を満たす状態だけが許される。

この電子配置から生じるすべての LS 項 ${}^{2S+1}L$ について、全角運動量量子数 $J$ のとりうる値ごとに区別した準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ を考える。この電子配置から生じる準位の総数を $N$、フントの規則によって決まる基底準位の全角運動量量子数を $J_0$ とするとき、組 $(N,J_0)$ を求めよ。

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つ原子の、上の準位 ${}^3{D}_2$ から下の準位 ${}^3{P}_1$ への電気双極子遷移による発光線を考える。この原子を磁束密度の大きさ $B$ の一様な弱い磁場中に置くと（異常ゼーマン効果）、各準位は磁気量子数 $M_J$ ごとに分裂し、エネルギーのずれは
$$\Delta E=g_J{\mu }_{\mathrm{B}}B{M}_J$$
で与えられる。ここで ${\mu }_{\mathrm{B}}$ はボーア磁子、$g_J$ はその準位のランデの $g$ 因子であり、電子スピンの $g$ 因子は $g_s=2$、軌道の $g$ 因子は $g_l=1$ とする。磁場はスピン軌道相互作用による微細構造分裂に比べて十分弱く、各準位の $J$ はよい量子数のままであるとする。

遷移の選択則は $\Delta M_J=M_J^{\text{上}}-M_J^{\text{下}}=0,\pm 1$ とし、このうち $\Delta M_J=\pm 1$ の成分を $\sigma$ 成分とよぶ。$\sigma$ 成分として現れる光子のエネルギーの、磁場がないときの光子のエネルギーからのずれを ${\mu }_{\mathrm{B}}B$ を単位として表した値をすべて求め、集合で答えよ。

異核 2 原子分子の振動回転スペクトルを考える。電子状態は ${}^1\Sigma$ の基底状態のままとし、振動量子数 $v$、回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の準位のエネルギーを波数単位で
$$\frac{E(v,J)}{hc}=G(v)+B_{v}J(J+1)$$
と表す。ここで $G(v)$ は振動のエネルギー（波数単位）、$B_v$ は振動状態 $v$ での回転定数であり、遠心力ひずみの項は無視する。

振動の基本帯 $v=0\to v=1$ の吸収では、選択則 $\Delta J=\pm 1$ に従い、下の準位の回転量子数を $J$ として、$\Delta J=+1$ の線を $R(J)$、$\Delta J=-1$ の線を $P(J)$ と書く。測定の結果、次の 4 本の線の波数が得られた。
$$R(0)=2416.30{\text{cm}}^{-1},R(1)=2432.10{\text{cm}}^{-1},P(1)=2383.20{\text{cm}}^{-1},P(2)=2365.90{\text{cm}}^{-1}$$

これらのデータから $B_0$ と $B_1$ を決め、$R$ 枝の線の波数が $J$ の関数として最大になる（バンドヘッドができる）ときの下の準位の回転量子数 $J$ を求めよ。ただし $J$ は 0 以上の整数とする。

2 つのエネルギー準位 $1$（下の準位、縮退度 $g_1$）と $2$（上の準位、縮退度 $g_2$）だけをもつ原子の集団を考える。2 準位のエネルギー差は $h\nu$ である（$h$ はプランク定数、$\nu$ は遷移の振動数）。準位 $2$ から準位 $1$ への自然放出のアインシュタイン係数を $A_{21}$、吸収・誘導放出のアインシュタイン係数をそれぞれ $B_{12}$, $B_{21}$ とする。すなわち、振動数 $\nu$ でのスペクトルエネルギー密度が $\rho (\nu )$ の放射の中で、準位 $1$ の原子 1 個が単位時間あたりに吸収を起こす確率は $B_{12}\rho (\nu )$、準位 $2$ の原子 1 個が単位時間あたりに誘導放出・自然放出を起こす確率はそれぞれ $B_{21}\rho (\nu )$, $A_{21}$ である。

$B_{12}$, $B_{21}$ の値は与えない。アインシュタイン係数は原子に固有の定数で、放射の温度によらない。そのため、$B_{12}$, $B_{21}$ は、無放射遷移がない原子の集団が任意の温度の黒体放射と熱平衡にあるとき、原子数の分布がその温度のボルツマン分布になり、放射がプランクの式に従うという条件（アインシュタインの関係式）から、$A_{21}$ と $g_1,g_2,h,\nu ,c$ を用いて表せる。

いま、この原子の集団を温度 $T$ の黒体放射の中に置く。放射のスペクトルエネルギー密度はプランクの式
$$\rho (\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$
で与えられる（$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。ただしこの原子は、放射との相互作用のほかに、衝突などによって準位 $2$ から準位 $1$ へ単位時間あたり確率 $\gamma$（$\gamma \ge 0$ の定数）で無放射遷移を起こす。無放射遷移による準位 $1$ から準位 $2$ への遷移は無視でき、原子は準位 $1$, $2$ 以外の状態をとらないものとする。また、遷移のスペクトル幅は $\rho (\nu )$ が変化する振動数の幅に比べて十分狭いものとする。

準位 $1$, $2$ の原子数をそれぞれ $N_1$, $N_2$ とするとき、定常状態での比 $\frac{N_2}{N_1}$ を、$g_1,g_2,A_{21},\gamma ,h,\nu ,k_B,T$ を用いて表せ。

ヘリウム・ネオンレーザーの波長 ${\lambda }_0=632.8\text{nm}$ の発振を考える。共振器は、反射率（光の強度に対する反射率）$R_1=0.998$, $R_2=0.982$ の 2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.500\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー共振器で、その中に長さ $l=0.400\text{m}$ の放電管（利得媒質）が置かれている。共振器内の屈折率はすべて $1$ とし、鏡の透過以外の損失（吸収・散乱・回折など）は無視する。

利得媒質の小信号利得係数 $g(\nu )$ は、光の強度が媒質中を距離 $z$ 進むと $e^{g(\nu )z}$ 倍になるように定義し、ネオン原子の熱運動によるドップラー広がりで決まるガウス型
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_D{)}^2}\right]$$
で表されるものとする。ここで ${\nu }_0=c/{\lambda }_0$ は線の中心振動数、$g_0=0.100{\text{m}}^{-1}$ は中心での利得係数、$\Delta {\nu }_D$ は半値全幅（ドップラー幅）で、温度 $T$、原子の質量 $M$ の気体では
$$\Delta {\nu }_D={\nu }_0\sqrt{\frac{8k_{B}T\log 2}{M{c}^2}}$$
である。ネオン原子の質量を $M=20.18\text{u}$（$1\text{u}=1.661\times 10^{-27}\text{kg}$）、放電管内の気体の温度を $T=400\text{K}$、ボルツマン定数を $k_B=1.381\times 10^{-23}\text{J/K}$、真空中の光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器の縦モードのうち 1 つの振動数がちょうど ${\nu }_0$ に一致しているものとする。また、利得は不均一広がりなので、各縦モードはそれぞれの振動数での小信号利得が往復の損失を上回れば（すなわち、1 往復での強度の増幅率が $1$ を超えれば）独立に発振するものとし、横モードは基本モードだけを考える。このとき発振する縦モードの数を求めよ。

基底電子状態が ${}^1\Sigma$ の異核 2 原子分子の赤外吸収スペクトルで、振動の基本帯（振動量子数 $v=0\to v=1$）を観測した。波数で表したエネルギー準位（エネルギーを $hc$ で割ったもの）を
$$\frac{E(v,J)}{hc}=G(v)+B_{v}J(J+1)(v,J=0,1,2,\dots )$$
とし、回転定数は振動状態によって
$$B_v=B_e-{\alpha }_e\left(v+\frac{1}{2}\right)$$
のように変わるものとする（$B_e$, ${\alpha }_e$ は定数）。遠心力ひずみは無視する。回転の選択則は $\Delta J=\pm 1$ で、下の準位の回転量子数を $J$ として、$J\to J+1$ の線を $R(J)$、$J\to J-1$ の線を $P(J)$ とよぶ。

観測された 4 本の線の波数は次のとおりであった。
$$R(0)=2906.252{\text{cm}}^{-1},R(1)=2925.916{\text{cm}}^{-1},P(1)=2865.100{\text{cm}}^{-1},P(2)=2843.612{\text{cm}}^{-1}$$
このデータから平衡回転定数 $B_e$ を求め、${\text{cm}}^{-1}$ 単位の数値で答えよ（計算は丸めずに行い、得られる値をそのまま答えよ）。

閉殻の外側に $4f$ 電子を $3$ 個もつ 3 価のイオン（電子配置 $[\text{Xe}]4f^3$、例えば ${\text{Nd}}^{3+}$）を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、閉殻の電子は全スピン・全軌道角運動量に寄与しない。基底準位（全角運動量量子数 $J$ まで含めた最も低い準位）はフントの規則で決まるものとする。

このイオンの常磁性の有効磁子数 $p$ を、基底準位の量子数 $S,L,J$ とランデの g 因子
$$g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$$
（電子のスピン g 因子を $2$ とした式）を用いて $p=g_J\sqrt{J(J+1)}$ と定める。結晶場の影響は無視し、基底準位だけが占有されているものとして、$p$ の値を求めよ。答えは根号を含む正確な値で答えよ。

下の準位 $1$（縮退度 $g_1$）と上の準位 $2$（縮退度 $g_2$）だけをもつ原子の集団を考える。2 準位のエネルギー差は $h\nu$ で、原子の総数 $N$ は一定とし、準位 $1$, $2$ にある原子数をそれぞれ $N_1$, $N_2$（$N_1+N_2=N$）とする。原子は等方的な放射の中に置かれており、遷移に関わるのは次の 3 つの放射過程だけとする（無放射遷移や衝突などのほかの緩和は無視する）。

• 吸収: 単位時間あたり $B_{12}\rho N_1$ 個の原子が $1\to 2$ に遷移する
• 誘導放出: 単位時間あたり $B_{21}\rho N_2$ 個の原子が $2\to 1$ に遷移する
• 自然放出: 単位時間あたり $A_{21}{N}_2$ 個の原子が $2\to 1$ に遷移する

ここで $\rho$ は振動数 $\nu$ における放射の（単位振動数あたりの）エネルギー密度で、スペクトル線の幅の範囲では一定とみなす。係数 $A_{21}$, $B_{12}$, $B_{21}$ は原子に固有の定数で、その間の関係は、温度 $T$ の熱平衡状態（原子数の比がボルツマン分布 $\frac{N_2}{N_1}=\frac{g_2}{g_1}{e}^{-h\nu /k_{\mathrm{B}}T}$ に従い、$\rho$ がプランクの放射式
$$\rho =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{\mathrm{B}}T}-1}$$
で与えられる状態）で、任意の $T$ について上の 3 過程がつり合うことから決まるものとする（$h$ はプランク定数、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$c$ は真空中の光速）。

いま、原子に当てる放射は熱放射とは限らず、そのエネルギー密度を、正の実数 $n$（1 つのモードあたりの平均光子数）を用いて
$$\rho =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}n$$
と表す。原子集団が定常状態にあるとき、正味の吸収率 $B_{12}\rho N_1-B_{21}\rho N_2$ を $B_{12}\rho N$ で割った量 $\eta$（放射が非常に弱い極限 $n\to 0$ で $1$ になる量）を、$g_1$, $g_2$, $n$ を用いて表せ。

アルカリ原子の価電子 1 個が $p$ 軌道（軌道角運動量量子数 $l=1$、スピン量子数 $s=\frac{1}{2}$）にある励起状態（項 ${}^{2}P$）を考える。閉殻の電子と原子核のスピンの影響は無視し、この項の中の 6 個の状態だけを考える。この原子を $z$ 軸の正の向きの、磁束密度の大きさ $B$（$B\ge 0$）の一様な磁場の中に置く。項の中でのハミルトニアンは、項の重心のエネルギーを $0$ として
$$H=\frac{A}{{\hslash }^2}\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}+\frac{{\mu }_{\mathrm{B}}B}{\hslash }\left(L_z+2S_z\right)$$
で与えられるとする。ここで $\mathbf{L}$, $\mathbf{S}$ は電子の軌道角運動量とスピン角運動量の演算子、$A>0$ はスピン軌道相互作用の定数、${\mu }_{\mathrm{B}}$ はボーア磁子であり、電子スピンの $g$ 因子は $2$ とした。反磁性の項など、これ以外の相互作用は無視する。

弱い磁場の極限ではゼーマン分裂、強い磁場の極限ではパッシェン・バック効果になるが、ここでは $B$ の大きさを限定しない。全角運動量の $z$ 成分の量子数が $M_J=m_l+m_s=+\frac{1}{2}$ である 2 つのエネルギー固有状態のエネルギーの差（高いほうから低いほうを引いたもの）を、$A$, ${\mu }_{\mathrm{B}}$, $B$ を用いて表せ。

基底電子状態にある異核 2 原子分子の振動準位を、非調和振動子のモデルで考える。振動量子数 $v$（$v=0,1,2,\dots$）の準位のエネルギーを $hc$ で割って波数単位（${\text{cm}}^{-1}$）で表したものを
$$G(v)={\omega }_e\left(v+\frac{1}{2}\right)-{\omega }_e{x}_e{\left(v+\frac{1}{2}\right)}^2$$
とする。ここで ${\omega }_e>0$, ${\omega }_e{x}_e>0$ は定数である。回転の影響は除いてあるものとする。

この分子の赤外吸収スペクトルで、振動の基本音（$v=0\to v=1$）のバンド中心が $2886{\text{cm}}^{-1}$、第 1 倍音（$v=0\to v=2$）のバンド中心が $5668{\text{cm}}^{-1}$ に観測された。

このモデルで、束縛された振動準位は $v=0$ と、$G(v)>G(v-1)$ を満たす正の整数 $v$ の準位であるとする（$G(v)$ が $v$ とともに増加する範囲だけでモデルが意味をもつとみなす）。束縛された振動準位の個数を求めよ。