原子・分子物理とレーザーの問題

アルカリ金属原子リチウム（Li）の価電子のエネルギー準位は、主量子数 $n$、軌道角運動量量子数 $l$ の準位について、イオン化の極限を基準とした波数単位の項値
$$T(n,l)=\frac{R}{(n-{\delta }_l{)}^2}$$
で表されるものとする（準位のエネルギーは $-hcT(n,l)$）。ここで $R$ はリュードベリ定数（波数単位）、${\delta }_l$ は $l$ だけで決まり $n$ によらない量子欠損で、$0\le {\delta }_l<1$ とする（したがって $n\ge 2$ の準位では有効主量子数 $n-{\delta }_l$ は正である）。微細構造は無視する。

Li の基底状態は $2s$ であり、主系列は $np\to 2s$（$n=2,3,4,\dots$）の遷移による発光線の系列である。主系列の極限（$n\to \infty$）の波数を ${\sigma }_L$、主系列の第 1 線（$2p\to 2s$）の波数を ${\sigma }_1$ とする。

主系列の第 2 線（$3p\to 2s$）の波数を、$R$、${\sigma }_L$、${\sigma }_1$ を用いて表せ。

ヘリウムイオン ${\mathrm{He}}^{+}$（原子番号 $Z=2$、電子 1 個の水素様イオン）で、電子が主量子数 $n=3$ の準位から $n^{\prime }=2$ の準位へ遷移するときに放出される光の波長 $\lambda$ を求めたい。水素様イオンの遷移で放出される光の波長は、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R{Z}^2\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right)(n>n^{\prime })$$
で与えられるものとする。ここで $R$ はリュードベリ定数であり、原子核の運動（換算質量の補正）は無視する。$\lambda$ を $R$ を用いて表せ。

ある異核 2 原子分子の振動回転準位のエネルギーを、波数単位（${\text{cm}}^{-1}$）で
$$\tilde{E}(v,J)={\tilde{\nu }}_0\left(v+\frac{1}{2}\right)+BJ(J+1)$$
と表す。ここで $v=0,1,2,\dots$ は振動量子数、$J=0,1,2,\dots$ は回転量子数で、${\tilde{\nu }}_0=2886{\text{cm}}^{-1}$、回転定数 $B=10.5{\text{cm}}^{-1}$ は振動状態によらないとする。$v=0\to v=1$ の吸収で、選択則 $\Delta v=+1$, $\Delta J=\pm 1$ に従う線のうち、R 枝の $R(0)$（$J=0\to J=1$）と P 枝の $P(1)$（$J=1\to J=0$）の波数を ${\text{cm}}^{-1}$ 単位で、この順に組 $({\tilde{\nu }}_{R(0)},{\tilde{\nu }}_{P(1)})$ として求めよ。

質量 $m$ の原子 A と質量 $3m$ の原子 B からなる異核 2 原子分子 AB を、核間距離 $r_0$ が一定の剛体回転子とみなす。この分子の回転準位は、回転量子数 $J=0,1,2,\dots$ を用いて
$$E_J=\frac{{\hslash }^2}{2\mu r_0^2}J(J+1)$$
で与えられる。ここで $\mu$ は 2 原子の換算質量、$\hslash$ はディラック定数（換算プランク定数）である。

この分子が光子を 1 個吸収して、回転準位 $J=2$ から $J=3$ へ遷移した。吸収された光子のエネルギーを $\hslash$, $m$, $r_0$ を用いて表せ。

ナトリウム原子の準位 ${}^2{P}_{3/2}$（$S=\frac{1}{2}$, $L=1$, $J=\frac{3}{2}$）を、大きさ $B$ の一様な弱い磁場の中に置く。磁場によるエネルギーのずれは $\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$（${\mu }_B$ はボーア磁子、$M_J$ は磁気量子数）で表され、ランデの $g$ 因子は
$$g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$$
で与えられるとする（電子スピンの $g$ 因子は $2$ とする近似）。この準位が分裂してできる副準位のうち、隣り合う 2 つの副準位のエネルギー間隔を ${\mu }_B$, $B$ を用いて表せ。