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原子・分子物理とレーザーの問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理原子・分子物理とレーザー

質量 $m$ の原子 A と質量 $3 m$ の原子 B からなる異核 2 原子分子 AB を、核間距離 $r_{0}$ が一定の剛体回転子とみなす。この分子の回転準位は、回転量子数 $J = 0, 1, 2, \dots$ を用いて
$E_{J} = \frac{ℏ ^{2}}{2 μ r _{0}^{2}} J (J + 1)$
で与えられる。ここで $μ$ は 2 原子の換算質量、 $ℏ$ はディラック定数（換算プランク定数）である。

この分子が光子を 1 個吸収して、回転準位 $J = 2$ から $J = 3$ へ遷移した。吸収された光子のエネルギーを $ℏ$ , $m$ , $r_{0}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

2 原子分子の回転準位（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（117 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 原子分子の回転準位の式 $E_{J} = \frac{ℏ ^{2}}{2 μ r _{0}^{2}} J (J + 1)$ を使い、光子のエネルギーを $E_{3} - E_{2}$ として求めます。

ヒント 2

まず換算質量 $μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ を求めましょう。 $J (J + 1)$ は $J = 2$ で $6$ 、 $J = 3$ で $12$ です。

ヒント 3

$μ = \frac{3}{4} m$ 、 $E_{3} - E_{2} = \frac{ℏ ^{2}}{2 μ r _{0}^{2}} \times 6$ です。ここに $μ$ を代入します。

答えと解説

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\frac{4 ℏ ^{2}}{m r _{0}^{2}}

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手順 1: 換算質量を求める。
$μ = \frac{m \cdot 3 m}{m + 3 m} = \frac{3 m ^{2}}{4 m} = \frac{3}{4} m$

手順 2: 2 つの準位のエネルギー差を求める。
$J (J + 1)$ の値は $J = 2$ で $6$ 、 $J = 3$ で $12$ なので
$E_{3} - E_{2} = \frac{ℏ ^{2}}{2 μ r _{0}^{2}} (12 - 6) = \frac{6 ℏ ^{2}}{2 μ r _{0}^{2}} = \frac{3 ℏ ^{2}}{μ r _{0}^{2}}$
（一般に $J \to J + 1$ の遷移では $E_{J + 1} - E_{J} = \frac{ℏ ^{2}}{μ r _{0}^{2}} (J + 1)$ であり、 $J = 2$ では $\frac{3 ℏ ^{2}}{μ r _{0}^{2}}$ となる。）

手順 3: 換算質量を代入する。
エネルギー保存より、吸収された光子のエネルギーはこの差に等しい。
$E_{3} - E_{2} = \frac{3 ℏ ^{2}}{\frac{3}{4} m r _{0}^{2}} = \frac{4 ℏ ^{2}}{m r _{0}^{2}}$
なお、 $J = 2 \to 3$ は選択則 $Δ J = + 1$ を満たす許容遷移である。

別解

換算質量は $μ = \frac{m \cdot 3 m}{m + 3 m} = \frac{3 m}{4}$ 。 $J = 2 \to 3$ のエネルギー差は $E_{3} - E_{2} = \frac{ℏ ^{2}}{2 μ r _{0}^{2}} (3 \cdot 4 - 2 \cdot 3) = \frac{ℏ ^{2}}{2 μ r _{0}^{2}} \times 6 = \frac{3 ℏ ^{2}}{μ r _{0}^{2}}$ 。 $μ = \frac{3 m}{4}$ を代入すると $\frac{3 ℏ ^{2}}{r _{0}^{2}} \cdot \frac{4}{3 m} = \frac{4 ℏ ^{2}}{m r _{0}^{2}}$ 。吸収された光子のエネルギーはこのエネルギー差に等しい。検算: 一般に $E_{J + 1} - E_{J} = \frac{ℏ ^{2}}{μ r _{0}^{2}} (J + 1)$ で、 $J = 2$ なら $\frac{3 ℏ ^{2}}{μ r _{0}^{2}}$ となり一致する。

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