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原子・分子物理とレーザーの問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理原子・分子物理とレーザー

ナトリウム原子の準位 $^{2} P_{3/2}$ （ $S = \frac{1}{2}$ , $L = 1$ , $J = \frac{3}{2}$ ）を、大きさ $B$ の一様な弱い磁場の中に置く。磁場によるエネルギーのずれは $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ （ $μ_{B}$ はボーア磁子、 $M_{J}$ は磁気量子数）で表され、ランデの $g$ 因子は
$g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$
で与えられるとする（電子スピンの $g$ 因子は $2$ とする近似）。この準位が分裂してできる副準位のうち、隣り合う 2 つの副準位のエネルギー間隔を $μ_{B}$ , $B$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

ランデの g 因子と異常ゼーマン効果（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（105 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「ランデの g 因子と異常ゼーマン効果」を使います。まず与えられた式で $g_{J}$ を計算しましょう。

ヒント 2

$J (J + 1) = \frac{15}{4}$ , $S (S + 1) = \frac{3}{4}$ , $L (L + 1) = 2$ を代入します。副準位のエネルギーは $g_{J} μ_{B} B M_{J}$ で、隣り合う副準位では $M_{J}$ が $1$ だけ違います。

ヒント 3

$g_{J} = 1 + \frac{\frac{15}{4} + \frac{3}{4} - 2}{2 \cdot \frac{15}{4}} = 1 + \frac{5/2}{15/2}$ です。これに $μ_{B} B$ をかけます。

答えと解説

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\frac{4}{3} μ_{B} B

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解説を読む

弱い磁場では、 $J$ がよい量子数のまま、各 $M_{J}$ の副準位のエネルギーが $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ だけずれます。まず $g_{J}$ を計算します。

1. $J (J + 1)$ , $S (S + 1)$ , $L (L + 1)$ を計算する

$J (J + 1) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{4}, S (S + 1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}, L (L + 1) = 1 \cdot 2 = 2$

2. $g_{J}$ を求める

$g_{J} = 1 + \frac{\frac{15}{4} + \frac{3}{4} - 2}{2 \cdot \frac{15}{4}} = 1 + \frac{\frac{5}{2}}{\frac{15}{2}} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

3. 副準位の間隔を求める

$M_{J}$ は $\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$ の 4 つで、隣り合う $M_{J}$ の差は $1$ です。よって隣り合う副準位のエネルギー間隔は
$g_{J} μ_{B} B \times 1 = \frac{4}{3} μ_{B} B$
です。

（参考: 4 つの副準位は等間隔に並び、全幅は $\frac{4}{3} μ_{B} B \times 3 = 4 μ_{B} B$ です。 $g_{J} \neq = 1$ なので、通常の（正常）ゼーマン効果とは間隔が異なります。）

別解

$J = \frac{3}{2}$ 、 $S = \frac{1}{2}$ 、 $L = 1$ より $J (J + 1) = \frac{15}{4}$ 、 $S (S + 1) = \frac{3}{4}$ 、 $L (L + 1) = 2$ 。 $g_{J} = 1 + \frac{\frac{15}{4} + \frac{3}{4} - 2}{2 \cdot \frac{15}{4}} = 1 + \frac{5/2}{15/2} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ 。 $M_{J} = - \frac{3}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ の 4 つの副準位に分裂し、 $Δ E = \frac{4}{3} μ_{B} B M_{J}$ 。隣り合う副準位（ $M_{J}$ が 1 違う）の間隔は $g_{J} μ_{B} B \cdot 1 = \frac{4}{3} μ_{B} B$ 。検算: $Δ E$ は $\mp 2 μ_{B} B, \mp \frac{2}{3} μ_{B} B$ で、間隔は $\frac{4}{3} μ_{B} B$ と等しい（等間隔）。

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