ランデの g 因子と異常ゼーマン効果

$g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$ を計算し、弱い磁場での準位の分裂 $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ と副準位の間隔・全幅を求められる

前提

角運動量の合成と項記号（大学物理原子・分子物理とレーザー）

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算数中学高校大学大学院

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角運動量の合成と項記号（大学物理原子・分子物理とレーザー）

説明

原子を磁場の中に置くと、 $J$ の決まった準位（ $2 J + 1$ 重に縮退）が、全角運動量の磁場方向の成分 $M_{J}$ の違う $2 J + 1$ 本の副準位に分かれます（ゼーマン効果）。スピンが関わる原子では分裂の大きさが準位ごとに違い、その違いを表すのがランデの g 因子 $g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$ です。この技能を使うと、磁場が弱い（スピン軌道相互作用による微細構造の間隔より分裂がずっと小さい）ときの各副準位のずれ $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ 、隣り合う副準位の間隔、分裂全体の幅を求められます。ここで $μ_{B} = \frac{e ℏ}{2 m _{e}}$ はボーア磁子、 $B$ は磁束密度の大きさです。

なぜそうしてよいのか

角運動量を $ℏ$ を単位として測ると、電子の磁気モーメントは、軌道からの寄与が $- μ_{B} L$ 、スピンからの寄与が $- 2 μ_{B} S$ です（スピンの g 因子を 2 とする）。合わせると $μ = - μ_{B} (L + 2 S)$ で、スピンの係数が 2 倍なので、 $μ$ は全角運動量 $J = L + S$ と同じ向きになりません。磁場が弱いときは、スピン軌道相互作用のために $L$ と $S$ は $J$ のまわりをすばやく回っていて、平均すると $μ$ のうち $J$ 方向の成分だけが残ります。

その成分を、内積を使って $J$ への射影として求めます。 $S = J - L$ を 2 乗すると $L \cdot J = \frac{1}{2} (J^{2} + L^{2} - S^{2})$ 、同様に $S \cdot J = \frac{1}{2} (J^{2} + S^{2} - L^{2})$ です。よって
$\frac{( L + 2 S ) \cdot J}{J ^{2}} = \frac{J ^{2} + S \cdot J}{J ^{2}} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )} = g_{J}$
（ $J \neq = 0$ のとき。各 2 乗をその固有値 $J (J + 1)$ などに置き換えた）となり、実質的に $μ = - g_{J} μ_{B} J$ とみなせます。磁場を $z$ 方向に $B$ とすると、エネルギーのずれは $Δ E = - μ \cdot B = g_{J} μ_{B} B J_{z}$ で、 $J_{z}$ の固有値 $M_{J} = - J, - J + 1, \dots, J$ を入れて $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ となります。

したがって副準位は等間隔に並び、隣り合う間隔は $g_{J} μ_{B} B$ 、最も高い $M_{J} = J$ と最も低い $M_{J} = - J$ の差（全幅）は $2 J g_{J} μ_{B} B$ です。 $S = 0$ なら $g_{J} = 1$ （正常ゼーマン効果）、 $L = 0$ なら $g_{J} = 2$ です。準位ごとに $g_{J}$ が違うので、2 つの準位の間の遷移線は 3 本より多くに分かれることがあり、これを異常ゼーマン効果といいます。 $J = 0$ の準位は副準位が 1 つだけで分裂しません（このとき $g_{J}$ の式は使えません）。

手順

項記号 $^{2 S + 1} L_{J}$ から $S$ , $L$ , $J$ を読み取る（ $J \neq = 0$ を確認）
$g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$ を計算する
$M_{J} = - J, - J + 1, \dots, J$ を列挙し、各副準位のずれ $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ を求める
隣り合う副準位の間隔 $g_{J} μ_{B} B$ 、全幅 $E (M_{J} = J) - E (M_{J} = - J) = 2 J g_{J} μ_{B} B$ など、問われた量を求める

例題

ナトリウム原子の $^{2} P_{3/2}$ 準位を、磁束密度の大きさ $B$ の弱い一様な磁場の中に置く。各副準位のエネルギーのずれは $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ （ $μ_{B}$ はボーア磁子、 $g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$ ）で与えられるとする。最も高い副準位と最も低い副準位のエネルギーの差を、 $μ_{B}$ と $B$ を用いて表せ。

例題の解答

手順 1: $^{2} P_{3/2}$ は $2 S + 1 = 2$ より $S = \frac{1}{2}$ 、 $P$ より $L = 1$ 、 $J = \frac{3}{2}$ 。

手順 2: $J (J + 1) = \frac{15}{4}$ , $S (S + 1) = \frac{3}{4}$ , $L (L + 1) = 2$ なので
$g_{J} = 1 + \frac{\frac{15}{4} + \frac{3}{4} - 2}{2 \cdot \frac{15}{4}} = 1 + \frac{\frac{5}{2}}{\frac{15}{2}} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} .$

手順 3: $M_{J} = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$ で、 $Δ E = \frac{4}{3} μ_{B} B M_{J} = 2 μ_{B} B, \frac{2}{3} μ_{B} B, - \frac{2}{3} μ_{B} B, - 2 μ_{B} B$ 。

手順 4: 全幅は $2 μ_{B} B - (- 2 μ_{B} B) = 4 μ_{B} B$ （ $2 J g_{J} μ_{B} B = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} μ_{B} B$ と一致）。隣り合う間隔は $\frac{4}{3} μ_{B} B$ 。

答え: $4 μ_{B} B$

よくある誤り

$g_{J}$ の分子の $S (S + 1)$ と $L (L + 1)$ の符号を逆にしてしまう誤り（ $1 + \frac{J ( J + 1 ) + L ( L + 1 ) - S ( S + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$ ）。正しくはスピンの寄与が 2 倍なので $S$ が正の符号で入り、 $g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$ （ $L = 0$ で $g_{J} = 2$ 、 $S = 0$ で $g_{J} = 1$ になることで確かめられる）。
$J (J + 1)$ の代わりに $J^{2}$ を使ってしまう誤り。 $^{2} P_{3/2}$ で $1 + \frac{\frac{9}{4} + \frac{1}{4} - 1}{2 \cdot \frac{9}{4}} = \frac{4}{3}$ と偶然一致することもあるが、一般には誤り。正しくは各角運動量の 2 乗の固有値 $J (J + 1)$ , $S (S + 1)$ , $L (L + 1)$ を使う。
全幅を $2 J + 1$ 本の副準位の本数を使って $(2 J + 1) g_{J} μ_{B} B$ としてしまう誤り。正しくは $M_{J}$ は $- J$ から $J$ まで変わるので、全幅は $2 J g_{J} μ_{B} B$ （ $^{2} P_{3/2}$ なら $3 \cdot \frac{4}{3} μ_{B} B = 4 μ_{B} B$ ）。
$J = 0$ の準位にも式を当てはめようとする誤り（分母が 0 になる）。正しくは $J = 0$ では $M_{J} = 0$ の 1 状態だけで、弱い磁場では分裂しない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ナトリウム原子の準位 $^{2} P_{3/2}$ （ $S = \frac{1}{2}$ , $L = 1$ , $J = \frac{3}{2}$ ）を、大きさ $B$ の一様な弱い磁場の中に置く。磁場によるエネルギーのずれは $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ （ $μ_{B}$ はボーア磁子、 $M_{J}$ は磁気量子数）で表され、ランデの $g$ 因子は
$g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$
で与えられるとする（電子スピンの $g$ 因子は $2$ とする近似）。この準位が分裂してできる副準位のうち、隣り合う 2 つの副準位のエネルギー間隔を $μ_{B}$ , $B$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ゼーマン効果のスペクトル線の成分（大学物理原子・分子物理とレーザー）