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原子・分子物理とレーザーの問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理原子・分子物理とレーザー

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つ原子の、上の準位 $^{3} D_{2}$ から下の準位 $^{3} P_{1}$ への電気双極子遷移による発光線を考える。この原子を磁束密度の大きさ $B$ の一様な弱い磁場中に置くと（異常ゼーマン効果）、各準位は磁気量子数 $M_{J}$ ごとに分裂し、エネルギーのずれは
$Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$
で与えられる。ここで $μ_{B}$ はボーア磁子、 $g_{J}$ はその準位のランデの $g$ 因子であり、電子スピンの $g$ 因子は $g_{s} = 2$ 、軌道の $g$ 因子は $g_{l} = 1$ とする。磁場はスピン軌道相互作用による微細構造分裂に比べて十分弱く、各準位の $J$ はよい量子数のままであるとする。

遷移の選択則は $Δ M_{J} = M_{J}^{上} - M_{J}^{下} = 0, \pm 1$ とし、このうち $Δ M_{J} = \pm 1$ の成分を $σ$ 成分とよぶ。 $σ$ 成分として現れる光子のエネルギーの、磁場がないときの光子のエネルギーからのずれを $μ_{B} B$ を単位として表した値をすべて求め、集合で答えよ。

この問題で使うもの

ゼーマン効果のスペクトル線の成分（説明と入口の問題）
ランデの g 因子と異常ゼーマン効果（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（106 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず上下それぞれの準位の $S, L, J$ を読み取り、ランデの $g$ 因子の公式で $g_{J}$ を計算する。

ヒント 2

光子のエネルギーのずれは $(g_{上} M_{上} - g_{下} M_{下}) μ_{B} B$ で、上下の $g$ が異なるので $M$ の組ごとに値が変わる。

ヒント 3

$g (^{3} D_{2}) = \frac{7}{6}, g (^{3} P_{1}) = \frac{3}{2}$ 。 $M_{上} = M_{下} + 1$ となる 3 通り（ $M_{下} = - 1, 0, 1$ ）を計算し、 $Δ M_{J} = - 1$ の場合は符号の対称性を使う。

答えと解説

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{- \frac{3}{2}, - \frac{7}{6}, - \frac{5}{6}, \frac{5}{6}, \frac{7}{6}, \frac{3}{2}}

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解説を読む

ランデの $g$ 因子. $g_{s} = 2, g_{l} = 1$ のとき
$g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )} .$

上の準位 $^{3} D_{2}$ （ $S = 1, L = 2, J = 2$ ）:
$g_{u} = 1 + \frac{6 + 2 - 6}{12} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6} .$
下の準位 $^{3} P_{1}$ （ $S = 1, L = 1, J = 1$ ）:
$g_{l}^{'} = 1 + \frac{2 + 2 - 2}{4} = \frac{3}{2} .$
（遷移は $Δ S = 0, Δ L = - 1, Δ J = - 1$ で許容である。）

光子のエネルギーのずれ. 上の準位の $M_{J}$ を $M_{u}$ 、下の準位の $M_{J}$ を $M_{l}$ とすると、光子のエネルギーは（上の準位のエネルギー） $-$ （下の準位のエネルギー）なので、ずれは
$δ = (g_{u} M_{u} - g_{l}^{'} M_{l}) μ_{B} B = (\frac{7}{6} M_{u} - \frac{3}{2} M_{l}) μ_{B} B .$
$M_{u} \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ , $M_{l} \in {- 1, 0, 1}$ である。

$Δ M_{J} = + 1$ （ $M_{u} = M_{l} + 1$ ）のとき:
- $M_{l} = - 1, M_{u} = 0$ : $0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
- $M_{l} = 0, M_{u} = 1$ : $\frac{7}{6}$
- $M_{l} = 1, M_{u} = 2$ : $\frac{7}{3} - \frac{3}{2} = \frac{5}{6}$

$Δ M_{J} = - 1$ （ $M_{u} = M_{l} - 1$ ）のときは、 $(M_{u}, M_{l})$ の符号を反転したものに対応するので、ずれは上の値の符号を変えた $- \frac{3}{2}, - \frac{7}{6}, - \frac{5}{6}$ となる（ $M_{l} = 1, M_{u} = 0$ : $- \frac{3}{2}$ ； $M_{l} = 0, M_{u} = - 1$ : $- \frac{7}{6}$ ； $M_{l} = - 1, M_{u} = - 2$ : $- \frac{7}{3} + \frac{3}{2} = - \frac{5}{6}$ ）。

したがって $σ$ 成分のずれ（単位 $μ_{B} B$ ）は
${- \frac{3}{2}, - \frac{7}{6}, - \frac{5}{6}, \frac{5}{6}, \frac{7}{6}, \frac{3}{2}} .$
（参考: $π$ 成分は $(\frac{7}{6} - \frac{3}{2}) M = - \frac{1}{3} M$ より ${- \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3}}$ で、 $σ$ 成分とは重ならない。）

別解

ランデの $g$ 因子は $g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$ （ $g_{s} = 2$ , $g_{l} = 1$ ）。

上の準位 $^{3} D_{2}$ : $S = 1, L = 2, J = 2$ より $g_{J} = 1 + \frac{6 + 2 - 6}{12} = \frac{7}{6}$ 。
下の準位 $^{3} P_{1}$ : $S = 1, L = 1, J = 1$ より $g_{J} = 1 + \frac{2 + 2 - 2}{4} = \frac{3}{2}$ 。

光子エネルギーのずれ（ $μ_{B} B$ 単位）は $δ = \frac{7}{6} M_{J}^{上} - \frac{3}{2} M_{J}^{下}$ 。ここで $M_{J}^{上} = - 2, \dots, 2$ , $M_{J}^{下} = - 1, 0, 1$ 。

$Δ M_{J} = + 1$ （ $M^{上} = M^{下} + 1$ ）:
- $M^{下} = - 1, M^{上} = 0$ : $δ = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
- $M^{下} = 0, M^{上} = 1$ : $δ = \frac{7}{6}$
- $M^{下} = 1, M^{上} = 2$ : $δ = \frac{7}{3} - \frac{3}{2} = \frac{5}{6}$

$Δ M_{J} = - 1$ （ $M^{上} = M^{下} - 1$ ）:
- $M^{下} = - 1, M^{上} = - 2$ : $δ = - \frac{7}{3} + \frac{3}{2} = - \frac{5}{6}$
- $M^{下} = 0, M^{上} = - 1$ : $δ = - \frac{7}{6}$
- $M^{下} = 1, M^{上} = 0$ : $δ = - \frac{3}{2}$

検算: $Δ M_{J} = + 1$ の 3 成分と $- 1$ の 3 成分は符号を反転した対称な組になっており、上下の準位とも $M_{J} \to - M_{J}$ で対称であることと整合する。6 つの値はすべて異なる。

よって $σ$ 成分のずれは ${\pm \frac{5}{6}, \pm \frac{7}{6}, \pm \frac{3}{2}}$ 。

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