ゼーマン効果のスペクトル線の成分

上下の準位の $g_{J}$ と選択則 $Δ M_{J} = 0, \pm 1$ から、磁場中の遷移で現れる $π$ 成分・ $σ$ 成分の光子エネルギーのずれ（ $μ_{B} B$ 単位）をすべて求められる

前提

ランデの g 因子と異常ゼーマン効果（大学物理原子・分子物理とレーザー）

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ランデの g 因子と異常ゼーマン効果（大学物理原子・分子物理とレーザー）

説明

弱い磁場の中では、上の準位と下の準位がそれぞれ $M_{J}$ ごとの副準位に分裂するので、1 本だったスペクトル線が何本かの成分に分かれます。この技能では、上下の準位のランデの g 因子 $g_{J}$ と選択則 $Δ M_{J} = 0, \pm 1$ を使って、現れる成分の光子エネルギーのずれを $μ_{B} B$ 単位ですべて求めます。 $Δ M_{J} = 0$ の成分を $π$ 成分、 $Δ M_{J} = \pm 1$ の成分を $σ$ 成分と呼びます。原子のスペクトルの磁場による分裂を予言したり、観測された分裂のようすから準位の $J$ や $g_{J}$ を確かめたりするのに使います。

なぜそうしてよいのか

弱い磁場 $B$ の中で、準位の副準位のエネルギーは $E = E_{0} + g_{J} μ_{B} B M_{J}$ です。上の準位（ $J_{u}$ , $g_{u}$ , $M_{u}$ ）から下の準位（ $J_{l}$ , $g_{l}$ , $M_{l}$ ）へ遷移して出る光子のエネルギーは、エネルギー保存から上下のエネルギーの差です。よって磁場がないときの光子エネルギー $h ν_{0}$ からのずれは
$Δ (h ν) = (g_{u} M_{u} - g_{l} M_{l}) μ_{B} B$
となります。上の準位のずれから下の準位のずれを引くことに注意します。

どの $M_{u}$ と $M_{l}$ の組でも遷移できるわけではありません。光子は角運動量 1 をもち、その磁場方向の成分は $0, \pm 1$ （単位 $ℏ$ ）のどれかです。原子と光子を合わせた角運動量の磁場方向の成分が保存されるので、 $Δ M_{J} = M_{u} - M_{l}$ は $0, \pm 1$ に限られます（同時に $Δ J = J_{u} - J_{l} = 0, \pm 1$ も必要です）。もちろん $M_{u}$ , $M_{l}$ はそれぞれ $- J_{u} \leq M_{u} \leq J_{u}$ , $- J_{l} \leq M_{l} \leq J_{l}$ の範囲の値しかとれません。さらに $Δ J = 0$ のときは $M_{u} = 0 \to M_{l} = 0$ の遷移が起こらないことが知られています（このとき遷移の強さを決めるクレブシュ・ゴルダン係数が $0$ になるため）。 $Δ M_{J} = 0$ の光は磁場方向に振動する直線偏光で $π$ 成分、 $Δ M_{J} = \pm 1$ の光は磁場方向から見ると円偏光で $σ$ 成分です。

上下で $g_{u} = g_{l} = g$ なら、ずれは $g Δ M_{J} μ_{B} B$ となって $Δ M_{J}$ だけで決まり、 $0, \pm g μ_{B} B$ の 3 本にまとまります（正常ゼーマン効果）。 $g_{u} \neq = g_{l}$ なら $M_{u}$ , $M_{l}$ の値ごとにずれが変わり、もっと多くの成分に分かれます（異常ゼーマン効果）。

手順

上下の準位の $L, S, J$ から $g_{u}$ , $g_{l}$ を計算する： $g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$
上の準位の $M_{u} = - J_{u}, \dots, J_{u}$ と、下の準位の $M_{l} = - J_{l}, \dots, J_{l}$ を書き出す
$Δ M_{J} = M_{u} - M_{l}$ が $0$ （ $π$ 成分）または $\pm 1$ （ $σ$ 成分）になる組をすべて選ぶ。 $Δ J = 0$ なら $M_{u} = 0 \to M_{l} = 0$ は除く
各組についてずれ $(g_{u} M_{u} - g_{l} M_{l}) μ_{B} B$ を計算する
同じ値になる組をまとめて、 $π$ 成分と $σ$ 成分のずれを答える

例題

ナトリウムの D $_{1}$ 線は、上の準位 $^{2} P_{1/2}$ から下の準位 $^{2} S_{1/2}$ への遷移で出る光である。弱い磁場 $B$ の中でこのスペクトル線が分裂して現れる成分（ $π$ 成分と $σ$ 成分のすべて）について、磁場がないときの光子エネルギーからのずれを $μ_{B} B$ を単位として表した値の集合を求めよ。ただし準位の分裂は $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ で表され、選択則は $Δ M_{J} = 0, \pm 1$ とする。

例題の解答

手順 1: $^{2} P_{1/2}$ は $L = 1$ , $S = \frac{1}{2}$ , $J = \frac{1}{2}$ なので
$g_{u} = 1 + \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2}{2 \cdot \frac{3}{4}} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$^{2} S_{1/2}$ は $L = 0$ , $S = \frac{1}{2}$ , $J = \frac{1}{2}$ なので
$g_{l} = 1 + \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 0}{2 \cdot \frac{3}{4}} = 2$

手順 2: $M_{u} = \pm \frac{1}{2}$ , $M_{l} = \pm \frac{1}{2}$ です。

手順 3・4: $Δ J = 0$ ですが $M = 0$ の副準位はないので除く組はありません。ずれは $(\frac{2}{3} M_{u} - 2 M_{l}) μ_{B} B$ です。
- $π$ 成分（ $Δ M_{J} = 0$ ）: $M_{u} = M_{l} = \frac{1}{2}$ で $\frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}$ 、 $M_{u} = M_{l} = - \frac{1}{2}$ で $- \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$
- $σ$ 成分（ $Δ M_{J} = \pm 1$ ）: $M_{u} = \frac{1}{2}, M_{l} = - \frac{1}{2}$ で $\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$ 、 $M_{u} = - \frac{1}{2}, M_{l} = \frac{1}{2}$ で $- \frac{1}{3} - 1 = - \frac{4}{3}$

手順 5: 重なる値はないので、成分は 4 本で、ずれは $π$ 成分が $\pm \frac{2}{3} μ_{B} B$ 、 $σ$ 成分が $\pm \frac{4}{3} μ_{B} B$ です。求める集合は ${- \frac{4}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}}$ です。

答え: ${- \frac{4}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}}$

よくある誤り

上下の準位で同じ g 因子を使い、ずれを $g Δ M_{J} μ_{B} B$ として 3 本しか出さない誤り。正しくは $(g_{u} M_{u} - g_{l} M_{l}) μ_{B} B$ で、 $g_{u} \neq = g_{l}$ なら $M_{u}, M_{l}$ ごとに値が変わる（D $_{1}$ 線では $\pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{3}$ の 4 本）
引き算の向きを逆にして $(g_{l} M_{l} - g_{u} M_{u}) μ_{B} B$ としたり、和 $(g_{u} M_{u} + g_{l} M_{l}) μ_{B} B$ としたりする誤り。光子のエネルギーは上の準位のエネルギーから下の準位のエネルギーを引いたものなので、正しくは $Δ (h ν) = (上の準位のずれ) - (下の準位のずれ) = (g_{u} M_{u} - g_{l} M_{l}) μ_{B} B$ である
存在しない副準位を使った組まで数えてしまう誤り。たとえば D $_{2}$ 線（ $^{2} P_{3/2} \to^{2} S_{1/2}$ 、 $J_{u} = \frac{3}{2}$ , $J_{l} = \frac{1}{2}$ ）で、 $π$ 成分に $M_{u} = \frac{3}{2} \to M_{l} = \frac{3}{2}$ を入れるのは誤り（ $J_{l} = \frac{1}{2}$ なので $M_{l} = \frac{3}{2}$ はない）。正しくは $M_{u}$ は $- J_{u} \sim J_{u}$ 、 $M_{l}$ は $- J_{l} \sim J_{l}$ の範囲だけで、 $M_{u} = \frac{3}{2}$ からは $M_{l} = \frac{1}{2}$ （ $σ$ 成分）への遷移しかない（D $_{1}$ 線なら $M_{u}, M_{l} = \pm \frac{1}{2}$ の 4 組だけ）
$Δ J = 0$ の遷移で $M_{u} = 0 \to M_{l} = 0$ の $π$ 成分を数えてしまう誤り。正しくは $Δ J = 0$ のときこの遷移は起こらないので除く（例: $J_{u} = J_{l} = 1$ では $π$ 成分は $M_{u} = M_{l} = \pm 1$ の 2 本だけ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ナトリウム原子の D $_{1}$ 線は、上の準位 $^{2} P_{1/2}$ から下の準位 $^{2} S_{1/2}$ への遷移で放出される。この原子を大きさ $B$ の一様な弱い磁場の中に置くと、各準位は $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ （ $μ_{B}$ はボーア磁子、 $M_{J}$ は磁気量子数）だけずれる。ランデの $g$ 因子は
$g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$
とし（電子スピンの $g$ 因子は $2$ とする近似）、遷移の選択則は $Δ M_{J} = M_{J}^{'} - M_{J}^{''} = 0, \pm 1$ （ $M_{J}^{'}$ は上の準位、 $M_{J}^{''}$ は下の準位の磁気量子数）とする。磁場によって D $_{1}$ 線は複数の成分に分かれる。各成分の光子エネルギーの、磁場がないときからのずれを $μ_{B} B$ を単位として表した値をすべて求め、集合で答えよ。

ゼーマン効果のスペクトル線の成分

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題