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原子・分子物理とレーザーの問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理原子・分子物理とレーザー

ナトリウム原子の D $_{1}$ 線は、上の準位 $^{2} P_{1/2}$ から下の準位 $^{2} S_{1/2}$ への遷移で放出される。この原子を大きさ $B$ の一様な弱い磁場の中に置くと、各準位は $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ （ $μ_{B}$ はボーア磁子、 $M_{J}$ は磁気量子数）だけずれる。ランデの $g$ 因子は
$g_{J} = 1 + \frac{J ( J + 1 ) + S ( S + 1 ) - L ( L + 1 )}{2 J ( J + 1 )}$
とし（電子スピンの $g$ 因子は $2$ とする近似）、遷移の選択則は $Δ M_{J} = M_{J}^{'} - M_{J}^{''} = 0, \pm 1$ （ $M_{J}^{'}$ は上の準位、 $M_{J}^{''}$ は下の準位の磁気量子数）とする。磁場によって D $_{1}$ 線は複数の成分に分かれる。各成分の光子エネルギーの、磁場がないときからのずれを $μ_{B} B$ を単位として表した値をすべて求め、集合で答えよ。

この問題で使うもの

ゼーマン効果のスペクトル線の成分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（106 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「ゼーマン効果のスペクトル線の成分」を使います。まず上の準位と下の準位それぞれの $g_{J}$ を計算しましょう。

ヒント 2

光子エネルギーのずれは $(g^{'} M_{J}^{'} - g^{''} M_{J}^{''}) μ_{B} B$ です。 $^{2} P_{1/2}$ と $^{2} S_{1/2}$ では $M_{J} = \pm \frac{1}{2}$ で、 $Δ M_{J} = 0$ が $π$ 成分、 $\pm 1$ が $σ$ 成分です。

ヒント 3

$g^{'} = \frac{2}{3}$ , $g^{''} = 2$ です。 $\frac{2}{3} M_{J}^{'} - 2 M_{J}^{''}$ に $M_{J}^{'}, M_{J}^{''} = \pm \frac{1}{2}$ の 4 通りの組を代入します。

答えと解説

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{- \frac{4}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}}

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解説を読む

光子のエネルギーは上の準位と下の準位のエネルギー差なので、磁場によるずれは
$δ E = (g^{'} M_{J}^{'} - g^{''} M_{J}^{''}) μ_{B} B$
です（ $g^{'}$ , $g^{''}$ は上・下の準位の $g$ 因子）。

1. 各準位の $g_{J}$ を求める

上の準位 $^{2} P_{1/2}$ （ $S = \frac{1}{2}$ , $L = 1$ , $J = \frac{1}{2}$ ）:
$J (J + 1) = \frac{3}{4}, S (S + 1) = \frac{3}{4}, L (L + 1) = 2$
$g^{'} = 1 + \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2}{2 \cdot \frac{3}{4}} = 1 + \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

下の準位 $^{2} S_{1/2}$ （ $S = \frac{1}{2}$ , $L = 0$ , $J = \frac{1}{2}$ ）:
$g^{''} = 1 + \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 0}{2 \cdot \frac{3}{4}} = 1 + 1 = 2$

2. 選択則を満たす遷移を列挙する

$M_{J}^{'}$ , $M_{J}^{''}$ はどちらも $\pm \frac{1}{2}$ です。ずれ（ $μ_{B} B$ 単位）は $\frac{2}{3} M_{J}^{'} - 2 M_{J}^{''}$ です。

$π$ 成分（ $Δ M_{J} = 0$ ）
$M_{J}^{'} = \frac{1}{2} \to M_{J}^{''} = \frac{1}{2}$ : $\frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}$
$M_{J}^{'} = - \frac{1}{2} \to M_{J}^{''} = - \frac{1}{2}$ : $- \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$
$σ$ 成分（ $Δ M_{J} = \pm 1$ ）
$M_{J}^{'} = \frac{1}{2} \to M_{J}^{''} = - \frac{1}{2}$ : $\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$
$M_{J}^{'} = - \frac{1}{2} \to M_{J}^{''} = \frac{1}{2}$ : $- \frac{1}{3} - 1 = - \frac{4}{3}$

$Δ M_{J} = \pm 1$ となる組はこの 2 つだけです（ $M_{J}$ の差は $0$ か $\pm 1$ にしかならないので、4 つの組はすべて許されます）。

よって、ずれは ${- \frac{4}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}}$ （ $μ_{B} B$ 単位）で、D $_{1}$ 線は 4 本に分かれます。上下の準位で $g_{J}$ が異なるので、正常ゼーマン効果の 3 本とは違う分かれ方（異常ゼーマン効果）になります。

別解

$^{2} P_{1/2}$ （ $J = \frac{1}{2}$ , $S = \frac{1}{2}$ , $L = 1$ ）: $g_{J} = 1 + \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2}{2 \cdot \frac{3}{4}} = 1 + \frac{- 1/2}{3/2} = \frac{2}{3}$ 。 $^{2} S_{1/2}$ （ $J = \frac{1}{2}$ , $S = \frac{1}{2}$ , $L = 0$ ）: $g_{J} = 1 + \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 0}{2 \cdot \frac{3}{4}} = 2$ 。光子エネルギーのずれ（ $μ_{B} B$ 単位）は $δ = g^{'} M_{J}^{'} - g^{''} M_{J}^{''} = \frac{2}{3} M_{J}^{'} - 2 M_{J}^{''}$ 。 $M_{J}^{'}, M_{J}^{''} = \pm \frac{1}{2}$ の 4 通りで、 $Δ M_{J} = M_{J}^{'} - M_{J}^{''} = 0, \pm 1$ はすべて満たされる。 $(M_{J}^{'}, M_{J}^{''}) = (+ \frac{1}{2}, + \frac{1}{2})$ : $\frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}$ 。 $(+ \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ : $\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$ 。 $(- \frac{1}{2}, + \frac{1}{2})$ : $- \frac{1}{3} - 1 = - \frac{4}{3}$ 。 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ : $- \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ 。よって 4 成分で、ずれは ${- \frac{4}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}}$ （ $μ_{B} B$ 単位）。検算: 4 つの値は 0 に関して対称で、D $_{1}$ 線の異常ゼーマン効果が 4 本に分裂することと一致する。

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