重心運動と相対運動

2 体系の運動を重心の運動と相対運動に分け、換算質量 $μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ や、外力の水平成分がないときの運動量保存とエネルギー保存を組み合わせて、可動の台の上を動く物体の速さや、台に対する相対速度・抗力を求められる

前提

運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
慣性力（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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慣性力（高校物理力と運動）

説明

互いに力を及ぼし合う 2 つの物体（2 体系）の運動は、「全体としてどう動くか」を表す重心の運動と、「互いにどう動くか」を表す相対運動に分けて考えると見通しがよくなります。運動エネルギーは $\frac{1}{2} M V_{G}^{2} + \frac{1}{2} μ v^{2}$ （ $M = m_{1} + m_{2}$ , $V_{G}$ は重心の速度、 $v$ は相対速度、 $μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ は換算質量）と 2 つに分かれます。この分け方と、外力の水平成分がないときの水平方向の運動量保存、力学的エネルギー保存を組み合わせると、なめらかな床の上で動く台と、その上をすべる物体の速さや、台に対する相対速度、台から受ける抗力などを求められます。

なぜそうしてよいのか

質量 $m_{1}$ , $m_{2}$ の物体の速度（一直線上の成分）を $v_{1}$ , $v_{2}$ とし、 $M = m_{1} + m_{2}$ とします。重心の速度を質量で重みをつけた平均 $V_{G} = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{M}$ で定めると、全運動量は $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = M V_{G}$ です。したがって外力（考える方向の成分）がはたらかず運動量が保存するとき、 $V_{G}$ は一定です。物体どうしがどれほど強く押し合っても、内力は作用・反作用で打ち消し合うので重心の運動には影響しません。

次に、相対速度 $v = v_{1} - v_{2}$ （物体 2 から見た物体 1 の速度）を使うと、 $v_{1} = V_{G} + \frac{m _{2}}{M} v$ , $v_{2} = V_{G} - \frac{m _{1}}{M} v$ と書き直せます（右辺を計算すると確かめられます）。これを運動エネルギーに代入すると、 $V_{G} v$ を含む項は $\frac{m _{1} m _{2}}{M} V_{G} v - \frac{m _{2} m _{1}}{M} V_{G} v = 0$ と消え、
$\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} M V_{G}^{2} + \frac{1}{2} μ v^{2}, μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$
となります。2 次元・3 次元でも、各成分について同じ計算をすれば同じ式になります。つまり運動エネルギーは「全質量が重心の速さで動くぶん」と「質量 $μ$ の 1 つの物体が相対速度で動くぶん」の和です。

全運動量が 0（はじめ両方が静止しているなど）なら $V_{G} = 0$ のままなので、運動エネルギーはすべて相対運動の $\frac{1}{2} μ v^{2}$ だけになります。このとき位置エネルギーの減少分がそのまま $\frac{1}{2} μ v^{2}$ になるので、相対速度がすぐに求まり、そこから $v_{1}$ , $v_{2}$ も上の式で求まります。 $m_{2} \to \infty$ （台が動かない）なら $μ \to m_{1}$ となり、固定された台の場合に戻ります。抗力を求めるときは、台とともに動く観測者から見て慣性力を加えると、相対運動の式を立てやすくなります。

手順

2 物体の質量 $m_{1}$ , $m_{2}$ と速度の正の向きを決め、外力のどの成分が 0 か（なめらかな水平床なら水平成分）を確かめる。
その方向の運動量保存を書く: $m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = M V_{G}$ （一定）。はじめに静止していれば $V_{G} = 0$ 。
相対速度 $v = v_{1} - v_{2}$ を使って $v_{1} = V_{G} + \frac{m _{2}}{M} v$ , $v_{2} = V_{G} - \frac{m _{1}}{M} v$ と表し、換算質量 $μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ を計算する。
内力が摩擦などでエネルギーを失わないことを確かめ、力学的エネルギー保存を $\frac{1}{2} M V_{G}^{2} + \frac{1}{2} μ v^{2} + U =$ 一定の形で書く。
相対速度 $v$ （あるいは $v_{1}$ , $v_{2}$ ）について解き、必要なら台とともに動く観測者から見た慣性力を加えて抗力を求める。

例題

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面はなめらかな曲面で、その最下部は水平になっている。曲面上の、最下部から高さ $h$ の位置に質量 $m$ の小物体を置き、台と小物体がともに静止した状態から静かに放した。小物体が曲面の最下部に達したとき、台に対する小物体の相対速度の大きさを、 $m$ , $M$ , $g$ , $h$ を用いて求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、小物体は台から離れないものとする。

例題の解答

手順 1: 水平右向きを正とし、小物体の速度の水平成分を $v_{1}$ 、台の速度を $v_{2}$ とする。床はなめらかなので、系（小物体と台）にはたらく外力（重力・床からの垂直抗力）はすべて鉛直で、水平成分は 0。

手順 2: 水平方向の運動量が保存し、はじめは静止しているので $m v_{1} + M v_{2} = (m + M) V_{G} = 0$ 、すなわち $V_{G} = 0$ がずっと成り立つ。

手順 3: 最下部では曲面が水平なので、小物体の速度は水平で、台に対する相対速度は $v = v_{1} - v_{2}$ 。換算質量は $μ = \frac{m M}{m + M}$ 。

手順 4: 曲面も床もなめらかなので、仕事をして力学的エネルギーを変えるのは重力だけ（台と小物体の間の抗力は内力で、互いの仕事の和は 0）。最下部を高さの基準にすると
$m g h = \frac{1}{2} (m + M) V_{G}^{2} + \frac{1}{2} μ v^{2} = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{m M}{m + M} v^{2}$

手順 5: $v^{2} = \frac{2 ( m + M ) g h}{M}$ 。相対速度の大きさは
$∣ v ∣ = \frac{2 ( m + M ) g h}{M}$
（なお、 $v_{1} = \frac{M}{m + M} v$ , $v_{2} = - \frac{m}{m + M} v$ で、台は小物体と逆向きに動く。）

答え: $\frac{2 ( m + M ) g h}{M}$

よくある誤り

台が動くのに、台が固定されているときと同じように $m g h = \frac{1}{2} m v^{2}$ として $v = 2 g h$ としてしまう誤り。台も運動エネルギーをもつので、正しくは $m g h = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} M v_{2}^{2} = \frac{1}{2} μ (v_{1} - v_{2})^{2}$ （ $V_{G} = 0$ のとき）。
運動量保存を鉛直方向にも使ってしまう誤り。床からの垂直抗力と重力は外力で、その和は運動中 0 とは限らない（小物体が鉛直方向に加速する間は、床からの抗力は $(m + M) g$ と異なる）。保存するのは外力の成分が 0 の水平方向の運動量 $m v_{1} + M v_{2}$ だけ。
換算質量を $μ = m_{1} + m_{2}$ や $μ = \frac{m _{1} + m _{2}}{m _{1} m _{2}}$ としてしまう誤り。正しくは $μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ で、 $\frac{1}{μ} = \frac{1}{m _{1}} + \frac{1}{m _{2}}$ と書けるので、 $μ$ は $m_{1}$ , $m_{2}$ のどちらよりも小さい。
相対速度の運動エネルギー $\frac{1}{2} μ v^{2}$ だけを使い、重心の運動エネルギー $\frac{1}{2} M V_{G}^{2}$ を忘れてしまう誤り。全運動量が 0 でないとき（たとえば台がはじめ速度 $u$ で動いていたとき）は $V_{G} \neq = 0$ で、正しくは運動エネルギーは $\frac{1}{2} M V_{G}^{2} + \frac{1}{2} μ v^{2}$ 。 $V_{G}$ は一定なので、エネルギー保存の両辺で同じ値として扱える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面は、摩擦のない曲面と、それにつながる摩擦のない水平面からなる。曲面の下端では曲面の接線が水平になっていて、曲面は折れ曲がることなく台の水平面につながっている。台の曲面上で、台の水平面より高さ $h$ だけ高い位置に質量 $m$ の小物体を置き、台と小物体を同時に静かにはなした。小物体は曲面をすべり下りて台の水平面に達し、台は床の上を水平に動く。
小物体が台の水平面に達したときの、台に対する小物体の相対速度の大きさを、 $m$ , $M$ , $g$ , $h$ を用いて表せ。ただし、 $g$ は重力加速度の大きさであり、小物体の大きさは無視でき、小物体は台から離れず、運動はすべて同じ鉛直面内で起こるものとする。
$m$ $M$ $h$
台と小物体（はなす前）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

連星の相対軌道と質量（大学物理宇宙物理・宇宙論）
2 原子分子の回転準位（大学物理原子・分子物理とレーザー）
2 原子分子の振動準位と同位体効果（大学物理原子・分子物理とレーザー）