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宇宙物理・宇宙論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理宇宙物理・宇宙論

恒星 A と恒星 B からなる連星を考える。2 つの恒星は互いの万有引力だけを受けて運動し、恒星 A から見た恒星 B の相対運動は楕円軌道（束縛軌道）である。公転周期を $P$ 、万有引力定数を $G$ とする。2 つの恒星は質点とみなし、相対論的効果は無視する。

2 つの恒星の間の距離が最小になる瞬間、恒星 A に対する恒星 B の相対速度の大きさは $v_{1}$ であった。また、2 つの恒星の間の距離が最大になる瞬間、この相対速度の大きさは $v_{2}$ であった（ $v_{1} > v_{2} > 0$ ）。さらに、距離が最小になる瞬間に、連星の共通重心が静止して見える慣性系で測った恒星 A の速さは $u$ （ $0 < u < v_{1}$ ）であった。

恒星 B の質量 $m_{B}$ を、 $P, v_{1}, v_{2}, u, G$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

連星の相対軌道と質量（説明と入口の問題）
重心運動と相対運動（説明と入口の問題）
ケプラー問題の軌道（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（148 技能）

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ヒント

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ヒント 1

二体問題を相対運動（全質量 $M$ の中心のまわりの運動）に帰着させ、近点と遠点で角運動量保存とエネルギー保存を使って軌道の大きさを $v_{1}, v_{2}, M$ で表しましょう。

ヒント 2

近点・遠点では速度が動径に垂直なので $r_{1} v_{1} = r_{2} v_{2}$ 。これとエネルギー保存から軌道長半径が $a = GM / (v_{1} v_{2})$ となることを示し、ケプラーの第 3 法則 $P^{2} = 4 π^{2} a^{3} / (GM)$ に代入します。

ヒント 3

$GM = P (v_{1} v_{2})^{3/2} / (2 π)$ が得られます。あとは重心系で A の速さが相対速度の $m_{B} / M$ 倍であることを使って $m_{B}$ を取り出します。

答えと解説

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\frac{P u v _{2} v _{1} v _{2}}{2 π G}

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解説を読む

相対運動への帰着

恒星 A, B の質量を $m_{A}, m_{B}$ 、全質量を $M = m_{A} + m_{B}$ 、A から B への相対位置ベクトルを $r$ とする。外力がないので重心は等速直線運動し、重心系は慣性系になる。相対運動の運動方程式は
$r ¨ = - \frac{GM}{r ^{3}} r$
となり、質量 $M$ の固定した中心のまわりの運動と同じ形になる。中心力なので相対運動の角運動量（単位換算質量あたり）が保存し、また力学的エネルギーも保存する。

近点・遠点の距離

最小距離を $r_{1}$ 、最大距離を $r_{2}$ とする。近点と遠点では相対速度は $r$ に垂直なので、角運動量保存より
$r_{1} v_{1} = r_{2} v_{2} (1)$
エネルギー保存より
$\frac{v _{1}^{2}}{2} - \frac{GM}{r _{1}} = \frac{v _{2}^{2}}{2} - \frac{GM}{r _{2}} (2)$
$(1)$ より $r_{1} = \frac{r _{2} v _{2}}{v _{1}}$ を $(2)$ に代入すると
$v_{1}^{2} - v_{2}^{2} = 2 GM (\frac{v _{1}}{r _{2} v _{2}} - \frac{1}{r _{2}}) = \frac{2 GM ( v _{1} - v _{2} )}{r _{2} v _{2}}$
$v_{1} \neq = v_{2}$ なので両辺を $v_{1} - v_{2}$ で割って
$r_{2} = \frac{2 GM}{v _{2} ( v _{1} + v _{2} )}, r_{1} = \frac{2 GM}{v _{1} ( v _{1} + v _{2} )}$
よって軌道長半径は
$a = \frac{r _{1} + r _{2}}{2} = \frac{GM}{v _{1} + v _{2}} (\frac{1}{v _{1}} + \frac{1}{v _{2}}) = \frac{GM}{v _{1} v _{2}}$

ケプラーの第 3 法則

相対運動の楕円軌道に対して $P^{2} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{GM}$ が成り立つ。 $a = \frac{GM}{v _{1} v _{2}}$ を代入すると
$P^{2} = \frac{4 π ^{2} ( GM ) ^{2}}{( v _{1} v _{2} ) ^{3}} ⟹ GM = \frac{P ( v _{1} v _{2} ) ^{3/2}}{2 π}$
（確認：円軌道 $v_{1} = v_{2} = v$ なら $GM = v^{3} P / (2 π)$ となり、 $v = 2 π a / P$ , $GM = v^{2} a$ と一致する。）

質量比

重心系では A の位置は $r_{A} = - \frac{m _{B}}{M} r$ なので、A の速さは相対速度の大きさの $\frac{m _{B}}{M}$ 倍である。距離最小の瞬間について
$u = \frac{m _{B}}{M} v_{1} ⟹ m_{B} = \frac{u}{v _{1}} M$

結論
$m_{B} = \frac{u}{v _{1}} \cdot \frac{P ( v _{1} v _{2} ) ^{3/2}}{2 π G} = \frac{P u v _{2} v _{1} v _{2}}{2 π G}$

別解

相対運動は換算質量の1体問題で、全質量を $M = m_{A} + m_{B}$ とすると、相対軌道は $GM$ を中心力定数とするケプラー楕円になる。

近点・遠点での角運動量保存より $v_{1} r_{min} = v_{2} r_{ma x}$ である。軌道長半径を $a$ 、離心率を $e$ とすると、 $r_{min} = a (1 - e)$ 、 $r_{ma x} = a (1 + e)$ である。

よって $v_{1} / v_{2} = (1 + e) / (1 - e)$ となる。

ヴィス・ヴィヴァ（エネルギー保存）の式から、近点・遠点の速さは
$v_{1} = \frac{GM}{a} \frac{1 + e}{1 - e}$ 、 $v_{2} = \frac{GM}{a} \frac{1 - e}{1 + e}$
と書ける。

両辺を掛けると $v_{1} v_{2} = GM / a$ 、すなわち $GM = a v_{1} v_{2}$ を得る。

ケプラーの第3法則 $P^{2} = 4 π^{2} a^{3} / (GM)$ に $GM = a v_{1} v_{2}$ を代入すると $P^{2} = 4 π^{2} a^{2} / (v_{1} v_{2})$ となる。
これより $a = P v_{1} v_{2} / (2 π)$ である。

したがって $GM = a v_{1} v_{2} = P (v_{1} v_{2})^{3/2} / (2 π)$ 、つまり $M = \frac{P ( v _{1} v _{2} ) ^{3/2}}{2 π G}$ である。

共通重心系での恒星 A の速さは、A の位置が重心から $\frac{m _{B}}{M} r$ の距離にあることから $u = \frac{m _{B}}{M} v_{1}$ となる。ここで $v_{1}$ は相対速度の大きさである。

ゆえに
$m_{B} = \frac{u}{v _{1}} M = \frac{P u v _{1}^{1/2} v _{2}^{3/2}}{2 π G}$ となる。

検算： $v_{1} = v_{2}$ （円軌道）とすると $GM = P v^{3} / (2 π)$ となる。円軌道では $v = 2 π r / P$ かつ $GM = v^{2} r = v^{3} P / (2 π)$ なので一致する。

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