宇宙物理・宇宙論の問題

恒星 A と恒星 B からなる連星を考える。2 つの恒星は互いの万有引力だけを受けて運動し、恒星 A から見た恒星 B の相対運動は楕円軌道（束縛軌道）である。公転周期を $P$、万有引力定数を $G$ とする。2 つの恒星は質点とみなし、相対論的効果は無視する。

2 つの恒星の間の距離が最小になる瞬間、恒星 A に対する恒星 B の相対速度の大きさは $v_1$ であった。また、2 つの恒星の間の距離が最大になる瞬間、この相対速度の大きさは $v_2$ であった（$v_1>v_2>0$）。さらに、距離が最小になる瞬間に、連星の共通重心が静止して見える慣性系で測った恒星 A の速さは $u$（$0<u<v_1$）であった。

恒星 B の質量 $m_B$ を、$P,v_1,v_2,u,G$ を用いて表せ。

恒星 A と恒星 B からなる分光連星を考える。2 つの恒星は互いの万有引力だけを受けて、共通重心を中心とする同一平面内の円軌道を同じ周期 $P$ で公転している。軌道面の法線と視線（地球から連星への方向）のなす角（軌道傾斜角）は $i$（$0<i\le \frac{\pi }{2}$）であることが分かっている。スペクトル線のドップラー効果から、恒星 A, B の視線方向の速度は、共通重心の視線速度を中心としてそれぞれ振幅 $K_A$, $K_B$（$K_A>0$, $K_B>0$）で正弦的に変化することが観測された。万有引力定数を $G$ とし、恒星の速さは光速に比べて十分小さく、ニュートン力学が成り立つものとする。恒星 A の質量 $m_A$ を、$P$, $K_A$, $K_B$, $i$, $G$ を用いて表せ。

同じ星団に属し、地球からの距離が等しいとみなせる 2 つの恒星 A, B がある。恒星 B の有効温度は恒星 A の有効温度のちょうど $\frac{1}{2}$ であり、恒星 B の（全波長で測った）見かけの等級は恒星 A より $5$ 等だけ小さい（明るい）。

恒星はいずれも半径 $R$、有効温度 $T$ の球形の黒体とみなし、光度は $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）で与えられるとする。また、等級 $m$ と観測される放射流束 $F$ の関係は $m=-2.5{\log }_{10}F+\text{const.}$ とし、星間吸収は無視する。

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。正確な値で求めよ。

ある恒星 S の半径は太陽半径の $2.5$ 倍、有効温度は太陽の有効温度の $2$ 倍である。恒星 S と太陽はともに有効温度の黒体として放射し、光度はシュテファン・ボルツマンの法則で決まるものとする。太陽の絶対等級（全波長で測った等級、以下同じ）を $4.7$ 等とし、絶対等級は天体を距離 $10\text{pc}$ に置いたときの見かけの等級と定義する。また、明るさ（放射流束）が $100$ 倍になると等級は $5$ 小さくなるものとする。星間吸収は無視できる。

地球から見た恒星 S の（全波長で測った）見かけの等級が $9.7$ 等であるとき、地球から恒星 S までの距離は何 $\text{pc}$ か。整数で答えよ。

恒星 A, B からなる実視連星がある。B に対する A の相対軌道は楕円で、その長半径は $a=20\text{au}$、公転周期は $P=40$ 年である。また、2 つの星の共通重心のまわりの運動を観測したところ、A の速さ $v_{\mathrm{A}}$ と B の速さ $v_{\mathrm{B}}$ の比はつねに $v_{\mathrm{A}}:v_{\mathrm{B}}=2:3$ であった。

ケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{P^2}=\frac{G(m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}})}{4{\pi }^2}$（$G$ は万有引力定数）は、長さを au、時間を年、質量を太陽質量 $M_{\odot }$ で測ると
$$\frac{a^3}{P^2}=m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}$$
と書ける。

A の質量 $m_{\mathrm{A}}$ と B の質量 $m_{\mathrm{B}}$ は、それぞれ太陽質量の何倍か。$(m_{\mathrm{A}},m_{\mathrm{B}})$ の組で答えよ。