連星の相対軌道と質量

ケプラーの第 3 法則 $\frac{a ^{3}}{P ^{2}} = \frac{G ( m _{A} + m _{B} )}{4 π ^{2}}$ と、重心系での速度の比 $\frac{v _{A}}{v _{B}} = \frac{m _{B}}{m _{A}}$ 、近点・遠点での相対速度から軌道長半径を決める関係（ $v_{1} r_{1} = v_{2} r_{2}$ とエネルギー保存）を組み合わせて、各星の質量を求められる

前提

ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））
重心運動と相対運動（大学物理力学（質点・剛体））

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算数中学高校大学大学院

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2 次曲線の極方程式（数学C 平面上の曲線）
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円軌道の人工衛星の速さと周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラーの 3 法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（高校物理円運動・単振動・万有引力）
ケプラー問題の軌道（大学物理力学（質点・剛体））
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
作用反作用の法則とつり合う 2 力の区別（高校物理力と運動（知識））
運動量保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
慣性系・非慣性系と慣性力（高校物理力と運動（知識））
慣性力（高校物理力と運動）
重心運動と相対運動（大学物理力学（質点・剛体））

説明

互いのまわりを回る 2 つの恒星（連星）について、相対軌道の大きさ（軌道長半径 $a$ ）と周期 $P$ から 2 星の質量の和を、重心のまわりの各星の速さの比から質量の比を求め、両者を組み合わせて各星の質量を決められるようになります。軌道長半径が直接わからないときは、近点・遠点での相対距離や相対速度から角運動量とエネルギーの保存を使って決めます。恒星の質量を直接はかる、ほとんど唯一の方法です。

なぜそうしてよいのか

2 星の位置を $r_{A}, r_{B}$ 、相対位置を $r = r_{B} - r_{A}$ とします。万有引力による運動方程式 $m_{A} r ¨_{A} = \frac{G m _{A} m _{B}}{r ^{2}} \frac{r}{r}$ 、 $m_{B} r ¨_{B} = - \frac{G m _{A} m _{B}}{r ^{2}} \frac{r}{r}$ を辺々引くと
$r ¨ = - \frac{G ( m _{A} + m _{B} )}{r ^{2}} \frac{r}{r}$
となり、相対運動は「質量 $M = m_{A} + m_{B}$ の動かない星のまわりを回る質点」の運動と同じです（換算質量 $μ$ で書けば $μ r ¨ = - G m_{A} m_{B} r / r^{3}$ ）。したがってケプラー問題の結果がそのまま使え、相対軌道は楕円で、長半径 $a$ と周期 $P$ の間に $\frac{a ^{3}}{P ^{2}} = \frac{G ( m _{A} + m _{B} )}{4 π ^{2}}$ が成り立ちます。これで質量の和が決まります。

一方、外力がないので重心は静止（または等速）しているとしてよく、重心から見ると $m_{A} r_{A} + m_{B} r_{B} = 0$ です。時間で微分すると $m_{A} v_{A} = - m_{B} v_{B}$ なので、速さの比は $\frac{v _{A}}{v _{B}} = \frac{m _{B}}{m _{A}}$ です（重い星ほど重心の近くをゆっくり回る）。これで質量の比が決まり、和と比から各質量が求まります。

軌道長半径がわからず、近点（相対距離 $r_{1}$ 、相対速度 $v_{1}$ ）と遠点（ $r_{2}$ 、 $v_{2}$ ）の情報があるときは、そこで速度が動径に垂直なので、角運動量保存から $v_{1} r_{1} = v_{2} r_{2}$ 、相対運動のエネルギー保存（ $μ$ で割った形）から $\frac{1}{2} v_{1}^{2} - \frac{GM}{r _{1}} = \frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{GM}{r _{2}}$ が成り立ちます。これらから足りない量を求め、 $a = \frac{r _{1} + r _{2}}{2}$ とします。

手順

相対軌道の長半径 $a$ を決める（近点・遠点の相対距離 $r_{1}, r_{2}$ がわかれば $a = \frac{r _{1} + r _{2}}{2}$ 。足りない量は $v_{1} r_{1} = v_{2} r_{2}$ と $\frac{1}{2} v_{1}^{2} - \frac{GM}{r _{1}} = \frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{GM}{r _{2}}$ から求める）
ケプラーの第 3 法則 $m_{A} + m_{B} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{G P ^{2}}$ で質量の和を求める（太陽質量・天文単位・年を単位にすれば $m_{A} + m_{B} = \frac{a ^{3}}{P ^{2}}$ ）
重心のまわりの速さ（または重心からの距離）の比から $\frac{m _{B}}{m _{A}} = \frac{v _{A}}{v _{B}}$ を求める
和と比を連立して $m_{A}, m_{B}$ を求める

例題

ある連星の相対軌道の長半径は $a = 20 au$ 、公転周期は $P = 40$ 年である。重心のまわりを回る星 A と星 B の速さの比はいつも $v_{A} : v_{B} = 1 : 4$ であった。単位を太陽質量 $M_{⊙}$ ・天文単位 au・年にとると、ケプラーの第 3 法則は $m_{A} + m_{B} = \frac{a ^{3}}{P ^{2}}$ （ $a$ は au、 $P$ は年、質量は $M_{⊙}$ 単位）と書けるものとする。星 A の質量は太陽質量の何倍か求めよ。

例題の解答

手順 1: 相対軌道の長半径は $a = 20$ と与えられている。

手順 2: $m_{A} + m_{B} = \frac{2 0 ^{3}}{4 0 ^{2}} = \frac{8000}{1600} = 5$

手順 3: $\frac{m _{B}}{m _{A}} = \frac{v _{A}}{v _{B}} = \frac{1}{4}$ より $m_{A} = 4 m_{B}$ 。速く動く B のほうが軽い。

手順 4: $4 m_{B} + m_{B} = 5$ より $m_{B} = 1$ 、 $m_{A} = 4$ 。星 A は太陽質量の 4 倍。

答え: $4$

よくある誤り

速さの比と質量の比を同じ向きにして $\frac{m _{A}}{m _{B}} = \frac{v _{A}}{v _{B}}$ としてしまう誤り（例題なら $m_{A} = 1, m_{B} = 4$ ）。運動量の大きさがそろう $m_{A} v_{A} = m_{B} v_{B}$ から、正しくは $\frac{v _{A}}{v _{B}} = \frac{m _{B}}{m _{A}}$ で、遅い星が重い
ケプラーの第 3 法則の $a$ に、相対軌道ではなく一方の星の重心まわりの軌道の長半径 $a_{A}$ を入れてしまう誤り。第 3 法則の $a$ は相対軌道の長半径で、 $a = a_{A} + a_{B}$ （重心から見た各星の軌道の長半径の和）
第 3 法則から得られるのを一方の星の質量だと思い、 $m_{A} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{G P ^{2}}$ としてしまう誤り。相対運動は質量 $m_{A} + m_{B}$ の星のまわりの運動と同じなので、正しくは $m_{A} + m_{B} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{G P ^{2}}$
近点・遠点の情報から $a$ を出すとき、エネルギー保存に 2 星それぞれの速さを入れたり、相対速度の式で $GM$ の $M$ を一方の質量にしたりしてしまう誤り。相対運動では $\frac{1}{2} v^{2} - \frac{G ( m _{A} + m _{B} )}{r}$ が一定で、 $v$ は相対速度、 $r$ は相対距離

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
恒星 A, B からなる実視連星がある。B に対する A の相対軌道は楕円で、その長半径は $a = 20 au$ 、公転周期は $P = 40$ 年である。また、2 つの星の共通重心のまわりの運動を観測したところ、A の速さ $v_{A}$ と B の速さ $v_{B}$ の比はつねに $v_{A} : v_{B} = 2 : 3$ であった。
ケプラーの第 3 法則 $\frac{a ^{3}}{P ^{2}} = \frac{G ( m _{A} + m _{B} )}{4 π ^{2}}$ （ $G$ は万有引力定数）は、長さを au、時間を年、質量を太陽質量 $M_{⊙}$ で測ると
$\frac{a ^{3}}{P ^{2}} = m_{A} + m_{B}$
と書ける。
A の質量 $m_{A}$ と B の質量 $m_{B}$ は、それぞれ太陽質量の何倍か。 $(m_{A}, m_{B})$ の組で答えよ。

連星の相対軌道と質量

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題