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宇宙物理・宇宙論の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理宇宙物理・宇宙論

恒星 A と恒星 B からなる分光連星を考える。2 つの恒星は互いの万有引力だけを受けて、共通重心を中心とする同一平面内の円軌道を同じ周期 $P$ で公転している。軌道面の法線と視線（地球から連星への方向）のなす角（軌道傾斜角）は $i$ （ $0 < i \leq \frac{π}{2}$ ）であることが分かっている。スペクトル線のドップラー効果から、恒星 A, B の視線方向の速度は、共通重心の視線速度を中心としてそれぞれ振幅 $K_{A}$ , $K_{B}$ （ $K_{A} > 0$ , $K_{B} > 0$ ）で正弦的に変化することが観測された。万有引力定数を $G$ とし、恒星の速さは光速に比べて十分小さく、ニュートン力学が成り立つものとする。恒星 A の質量 $m_{A}$ を、 $P$ , $K_{A}$ , $K_{B}$ , $i$ , $G$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

連星の相対軌道と質量（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（148 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず観測量 $K_{A}$ , $K_{B}$ から各星の軌道半径を求め、ケプラーの第 3 法則で全質量を、重心の条件で質量比を求めます。

ヒント 2

視線速度の振幅は真の速さに $sin i$ を掛けたもの $K = v sin i$ です。また 2 体の円運動では $G (m_{A} + m_{B}) = \frac{4 π ^{2} ( a _{A} + a _{B} ) ^{3}}{P ^{2}}$ 、 $m_{A} a_{A} = m_{B} a_{B}$ が成り立ちます。

ヒント 3

$a_{A} + a_{B} = \frac{P ( K _{A} + K _{B} )}{2 π sin i}$ より $m_{A} + m_{B} = \frac{P ( K _{A} + K _{B} ) ^{3}}{2 π G sin ^{3} i}$ 。あとは $m_{A}$ が全質量の何倍かを $K_{A}$ , $K_{B}$ で表します。

答えと解説

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\frac{P K _{B} ( K _{A} + K _{B} ) ^{2}}{2 π G sin ^{3} i}

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解説を読む

恒星 A, B の共通重心からの軌道半径を $a_{A}$ , $a_{B}$ 、公転の速さを $v_{A}$ , $v_{B}$ とする。円軌道なので速さは一定で
$v_{A} = \frac{2 π a _{A}}{P}, v_{B} = \frac{2 π a _{B}}{P} .$

視線速度の振幅と真の速さの関係 軌道面の法線と視線のなす角が $i$ なので、軌道上の速度ベクトルの視線方向成分の最大値は $v sin i$ である。よって
$K_{A} = v_{A} sin i, K_{B} = v_{B} sin i$
となり、
$a_{A} = \frac{P K _{A}}{2 π sin i}, a_{B} = \frac{P K _{B}}{2 π sin i} .$
2 星間の距離は $a = a_{A} + a_{B} = \frac{P ( K _{A} + K _{B} )}{2 π sin i}$ である。

ケプラーの第 3 法則 2 体問題では、相対運動は換算質量 $μ$ の粒子が半径 $a$ の円軌道を回る運動になり、 $μ a ω^{2} = \frac{G m _{A} m _{B}}{a ^{2}}$ （ $ω = 2 π / P$ ）から
$G (m_{A} + m_{B}) = a^{3} (\frac{2 π}{P})^{2} = \frac{4 π ^{2} a ^{3}}{P ^{2}} .$
これに $a$ を代入すると
$m_{A} + m_{B} = \frac{4 π ^{2}}{G P ^{2}} \cdot \frac{P ^{3} ( K _{A} + K _{B} ) ^{3}}{8 π ^{3} sin ^{3} i} = \frac{P ( K _{A} + K _{B} ) ^{3}}{2 π G sin ^{3} i} .$

質量比 共通重心の定義 $m_{A} a_{A} = m_{B} a_{B}$ より
$\frac{m _{A}}{m _{A} + m _{B}} = \frac{a _{B}}{a _{A} + a _{B}} = \frac{K _{B}}{K _{A} + K _{B}} .$

したがって
$m_{A} = \frac{K _{B}}{K _{A} + K _{B}} \cdot \frac{P ( K _{A} + K _{B} ) ^{3}}{2 π G sin ^{3} i} = \frac{P K _{B} ( K _{A} + K _{B} ) ^{2}}{2 π G sin ^{3} i} .$

（確認: $i = π /2$ , $K_{A} = K_{B} = K$ のとき $m_{A} = \frac{2 P K ^{3}}{π G}$ となり、等質量の連星で $v = K$ , $a = P K / π$ から求めた値 $m = \frac{2 π ^{2} a ^{3}}{G P ^{2}} = \frac{2 P K ^{3}}{π G}$ と一致する。）

別解

円軌道なので A, B の軌道上の速さは一定。軌道面の法線と視線のなす角が $i$ なので、視線方向の速度の振幅は軌道速さの $sin i$ 倍で、 $K_{A} = v_{A} sin i$ , $K_{B} = v_{B} sin i$ 。よって $v_{A} = \frac{K _{A}}{s i n i}$ , $v_{B} = \frac{K _{B}}{s i n i}$ 。

重心まわりの円運動で 2 星は常に重心をはさんで反対側にあり、周期 $P$ も共通。重心からの距離は $r_{A} = \frac{v _{A} P}{2 π}$ , $r_{B} = \frac{v _{B} P}{2 π}$ 。2 星の距離は $a = r_{A} + r_{B} = \frac{( v _{A} + v _{B} ) P}{2 π} = \frac{( K _{A} + K _{B} ) P}{2 π s i n i}$ 。

万有引力による向心力より、A について $m_{A} \frac{v _{A}^{2}}{r _{A}} = \frac{G m _{A} m _{B}}{a ^{2}}$ 。 $\frac{v _{A}^{2}}{r _{A}} = v_{A} \cdot \frac{2 π}{P}$ なので $v_{A} \frac{2 π}{P} = \frac{G m _{B}}{a ^{2}}$ 、すなわち $m_{B} = \frac{2 π v _{A} a ^{2}}{GP}$ 。同様に $m_{A} = \frac{2 π v _{B} a ^{2}}{GP}$ 。 $a = \frac{( K _{A} + K _{B} ) P}{2 π s i n i}$ を代入して
$m_{A} = \frac{2 π}{GP} \cdot \frac{K _{B}}{s i n i} \cdot \frac{( K _{A} + K _{B} ) ^{2} P ^{2}}{4 π ^{2} s i n ^{2} i} = \frac{P K _{B} ( K _{A} + K _{B} ) ^{2}}{2 π G s i n ^{3} i}$ 。

検算: $m_{A} / m_{B} = v_{B} / v_{A} = K_{B} / K_{A}$ で、重心のつり合い $m_{A} r_{A} = m_{B} r_{B}$ と一致する。全質量は $m_{A} + m_{B} = \frac{P ( K _{A} + K _{B} ) ^{3}}{2 π G s i n ^{3} i}$ で、ケプラーの第 3 法則 $G (m_{A} + m_{B}) = a^{3} (2 π / P)^{2}$ とも一致する。

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