宇宙物理・宇宙論の問題

同じ星団に属し、地球からの距離が等しいとみなせる 2 つの恒星 A, B がある。恒星 B の有効温度は恒星 A の有効温度のちょうど $\frac{1}{2}$ であり、恒星 B の（全波長で測った）見かけの等級は恒星 A より $5$ 等だけ小さい（明るい）。

恒星はいずれも半径 $R$、有効温度 $T$ の球形の黒体とみなし、光度は $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）で与えられるとする。また、等級 $m$ と観測される放射流束 $F$ の関係は $m=-2.5{\log }_{10}F+\text{const.}$ とし、星間吸収は無視する。

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。正確な値で求めよ。

恒星 A と恒星 B からなる連星があり、2 つの恒星は万有引力だけを受けて、共通重心を中心とする同一平面内の円軌道を同じ周期で公転している。公転周期は $8$ 年、共通重心から恒星 A までの距離は $2\text{AU}$、共通重心から恒星 B までの距離は $6\text{AU}$ である（AU は天文単位）。

比較のため、地球は太陽のまわりを半径 $1\text{AU}$、周期 $1$ 年の円軌道で公転しているとし、地球の質量は太陽の質量に比べて無視できるものとする。ほかの天体の影響は考えない。

恒星 A の質量 $M_A$ と恒星 B の質量 $M_B$ は、太陽の質量の何倍か。$M_A$, $M_B$ の順に、組で求めよ。

2 つの球形の恒星 A, B からなる食連星がある。恒星 B の半径は恒星 A の半径より小さい。軌道面は視線方向を含み、食の間、地球から見た B の円板は A の円板の内側に完全に入るか、A の円板の後ろに完全に隠れるかのどちらかの状態を一定時間保つ。

• B が A の手前にあり、B の円板全体が A の円板の内側に入っている間、連星系の（全波長で測った）見かけの等級は、食のないときより $a$ 等大きい。
• B が A の後ろに完全に隠れている間、連星系の見かけの等級は、食のないときより $b$ 等大きい。

各恒星は表面全体が一様な明るさで輝く（周縁減光はない）有効温度 $T_A$, $T_B$ の黒体とみなし、単位面積あたりの放射はシュテファン・ボルツマンの法則に従うとする。恒星どうしの照り返しや星間吸収は無視し、恒星の見かけの等級 $m$ と地球で受けるエネルギー流束 $F$ の間には $m=-2.5{\log }_{10}F+(\text{定数})$ の関係があるとする。$a>0$, $b>0$ である。

有効温度の比 $\frac{T_B}{T_A}$ を $a$, $b$ を用いて表せ。

2 つの恒星 A, B からなる食連星がある。A の半径は $R_{\mathrm{A}}=4R$、表面温度は $T_{\mathrm{A}}=T$、B の半径は $R_{\mathrm{B}}=3R$、表面温度は $T_{\mathrm{B}}=2T$ である（$R,T$ は正の定数）。軌道面は視線方向を含み、B が A の真後ろに入ると、B の円板は A に完全に隠される。

各星は一様な明るさの円板に見えるものとし、地球に届く各星からの放射流束は、見かけの円板の面積と表面輝度 $\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）の積に比例するとする。

食が起きていないときの放射流束を $F_0$、B が A に完全に隠されているときの放射流束を $F_{\text{食}}$ とする。このときの等級の増加
$$\Delta m=-2.5{\log }_{10}\frac{F_{\text{食}}}{F_0}$$
を求めよ。

質量 $M$ の自転していない球対称な中性子星を考える。星の外部の時空はシュヴァルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。ここで $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ はシュヴァルツシルト半径、$G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$r$ は動径座標である。

星の表面（動径座標 $r=R$、$R>r_s$）に静止した原子が出した輝線を、星から十分遠方（$r\to \infty$）に静止した観測者が観測したところ、その波長は表面で静止した観測者が測る波長の $\frac{5}{4}$ 倍であった。星の自転・運動、および星と観測者の間の物質の影響は無視できるものとする。星の半径 $R$ を $G$, $M$, $c$ を用いて表せ。