宇宙物理・宇宙論の問題

ある恒星 S の半径は太陽半径の $2.5$ 倍、有効温度は太陽の有効温度の $2$ 倍である。恒星 S と太陽はともに有効温度の黒体として放射し、光度はシュテファン・ボルツマンの法則で決まるものとする。太陽の絶対等級（全波長で測った等級、以下同じ）を $4.7$ 等とし、絶対等級は天体を距離 $10\text{pc}$ に置いたときの見かけの等級と定義する。また、明るさ（放射流束）が $100$ 倍になると等級は $5$ 小さくなるものとする。星間吸収は無視できる。

地球から見た恒星 S の（全波長で測った）見かけの等級が $9.7$ 等であるとき、地球から恒星 S までの距離は何 $\text{pc}$ か。整数で答えよ。

2 つの球形の恒星 A, B からなる食連星がある。恒星 B の半径は恒星 A の半径より小さい。軌道面は視線方向を含み、食の間、地球から見た B の円板は A の円板の内側に完全に入るか、A の円板の後ろに完全に隠れるかのどちらかの状態を一定時間保つ。

• B が A の手前にあり、B の円板全体が A の円板の内側に入っている間、連星系の（全波長で測った）見かけの等級は、食のないときより $a$ 等大きい。
• B が A の後ろに完全に隠れている間、連星系の見かけの等級は、食のないときより $b$ 等大きい。

各恒星は表面全体が一様な明るさで輝く（周縁減光はない）有効温度 $T_A$, $T_B$ の黒体とみなし、単位面積あたりの放射はシュテファン・ボルツマンの法則に従うとする。恒星どうしの照り返しや星間吸収は無視し、恒星の見かけの等級 $m$ と地球で受けるエネルギー流束 $F$ の間には $m=-2.5{\log }_{10}F+(\text{定数})$ の関係があるとする。$a>0$, $b>0$ である。

有効温度の比 $\frac{T_B}{T_A}$ を $a$, $b$ を用いて表せ。

2 つの恒星 A, B からなる食連星がある。A の半径は $R_{\mathrm{A}}=4R$、表面温度は $T_{\mathrm{A}}=T$、B の半径は $R_{\mathrm{B}}=3R$、表面温度は $T_{\mathrm{B}}=2T$ である（$R,T$ は正の定数）。軌道面は視線方向を含み、B が A の真後ろに入ると、B の円板は A に完全に隠される。

各星は一様な明るさの円板に見えるものとし、地球に届く各星からの放射流束は、見かけの円板の面積と表面輝度 $\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）の積に比例するとする。

食が起きていないときの放射流束を $F_0$、B が A に完全に隠されているときの放射流束を $F_{\text{食}}$ とする。このときの等級の増加
$$\Delta m=-2.5{\log }_{10}\frac{F_{\text{食}}}{F_0}$$
を求めよ。

恒星 A と恒星 B からなる連星があり、2 つの恒星は万有引力だけを受けて、共通重心を中心とする同一平面内の円軌道を同じ周期で公転している。公転周期は $8$ 年、共通重心から恒星 A までの距離は $2\text{AU}$、共通重心から恒星 B までの距離は $6\text{AU}$ である（AU は天文単位）。

比較のため、地球は太陽のまわりを半径 $1\text{AU}$、周期 $1$ 年の円軌道で公転しているとし、地球の質量は太陽の質量に比べて無視できるものとする。ほかの天体の影響は考えない。

恒星 A の質量 $M_A$ と恒星 B の質量 $M_B$ は、太陽の質量の何倍か。$M_A$, $M_B$ の順に、組で求めよ。

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は、温度 $T$ の黒体放射（光子気体）とみなせる。プランク定数を $h$、光速を $c$、ボルツマン定数を $k_B$ とする。単位体積あたり、振動数 $\nu$ から $\nu +d\nu$ の範囲にある放射のエネルギーは $u_{\nu }d\nu$ と書け、$u_{\nu }$ はプランクの公式
$$u_{\nu }=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$
で与えられる。光子気体の圧力は $p=\frac{u}{3}$（$u$ は全エネルギー密度）であり、光子の化学ポテンシャルは $0$ なので、エントロピー密度は $s=\frac{u+p}{T}$ で与えられる。必要なら次の積分の値を用いてよい。
$${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15},{\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{e^x-1}dx=2\zeta (3),\zeta (3)=1.202$$
この黒体放射の光子数密度を $n$ とするとき、光子 1 個あたりのエントロピーを $k_B$ を単位として表した量 $\frac{s}{n{k}_B}$ を、有効数字 3 桁で求めよ。