力学（質点・剛体）の問題

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面には、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の半円形の断面をもつ溝がほられており、溝の内面はなめらかである。溝の断面は鉛直面内にあり、台はこの面内で床にそって水平方向にだけ動ける。

はじめ台は静止しており、質量 $m$ の小球を溝の内面上の点で静かに放す。放す点は、$\mathrm{O}$ と結んだ線分が鉛直下向きと $60^{\circ }$ の角をなす位置にある。小球の大きさは無視でき、小球は溝の断面を含む鉛直面内で溝の内面にそって運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

小球がはじめて溝の最下点を通過する瞬間に、小球が溝の内面から受ける垂直抗力の大きさを、$m$, $M$, $g$ を用いて表せ。

鉛直な軸のまわりに一定の角速度 $\Omega$ で回転する回転台に、なめらかな曲面がしっかり固定されている。曲面の最下点 $\mathrm{O}$ は回転軸上にある。回転台とともに回転する座標系で、$\mathrm{O}$ を原点とし、水平面内に互いに直交する $x$ 軸と $y$ 軸を、鉛直上向きに $z$ 軸をとる。$\mathrm{O}$ の近くで、曲面は
$$z=\frac{x^2}{2R}+\frac{y^2}{R}$$
で表される（$R$ は正の定数）。曲面はこの回転座標系に対して静止している。

質量 $m$ の質点が、この曲面上を摩擦なしにすべって動く。重力加速度の大きさを $g$ とし、回転の角速度は $\Omega =\sqrt{\frac{g}{3R}}$ に設定されている。質点は曲面から離れないものとし、空気抵抗は無視する。

質点を $\mathrm{O}$ の近くでわずかにずらすと、質点は回転座標系から見て $\mathrm{O}$ のまわりで微小振動する。$x$, $y$ およびその時間微分について 1 次の近似で運動方程式を立てたとき、回転座標系から見た 2 つの基準振動の角振動数（正の値）を、$g$, $R$ を用いて小さい順に組で求めよ。

質量 $M$、長さ $\ell$ の一様な細い棒 $\mathrm{OA}$ の端 $\mathrm{O}$ が、水平な固定軸に取り付けられており、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転できる。棒を水平に保って静止させ、静かにはなすと、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに回転しながら下がっていく。

棒が水平からの角 $\theta$（$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$）だけ下がった位置を通過するとき、軸が棒に及ぼす力の水平成分の大きさは $\theta$ によって変わる。$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ でのその最大値を、$M$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて求めよ。棒の太さと空気抵抗は無視する。

なめらかな水平面の上に、質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$（重心 $\mathrm{G}$）が静止している。棒は水平面の上で固定されておらず、自由に動ける。質量 $m$ の小球 $\mathrm{P}$ が、水平面の上を棒に垂直な向きに速さ $v_0$ で進み、棒の端 $\mathrm{A}$ に衝突した。

衝突は瞬間的に起こる弾性衝突（衝突の前後で力学的エネルギーが保存する）であり、小球と棒のあいだに摩擦はなく、小球は大きさの無視できる質点とみなす。水平面と棒・小球のあいだの摩擦、空気抵抗は無視する。

衝突の直後に、棒が重心 $\mathrm{G}$ のまわりに回転する角速度の大きさ $\omega$ を、$m$, $M$, $L$, $v_0$ を用いて表せ。

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 ABCD があり、$\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$（$a>b>0$）である。板の厚さは無視できるものとする。この板を、対角線 AC を回転軸として、一定の角速度の大きさ $\omega$ で回転させる。回転軸は軸受けで支えられており、重力は考えない。

板の重心に関する慣性テンソルを用いて角運動量を求め、回転軸を一定に保つために軸受けが板に及ぼす必要がある、重心まわりの力のモーメント（トルク）の大きさを $M,a,b,\omega$ を用いて表せ。