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力学（質点・剛体）の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理力学（質点・剛体）

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 ABCD があり、 $AB = a$ , $BC = b$ （ $a > b > 0$ ）である。板の厚さは無視できるものとする。この板を、対角線 AC を回転軸として、一定の角速度の大きさ $ω$ で回転させる。回転軸は軸受けで支えられており、重力は考えない。

板の重心に関する慣性テンソルを用いて角運動量を求め、回転軸を一定に保つために軸受けが板に及ぼす必要がある、重心まわりの力のモーメント（トルク）の大きさを $M, a, b, ω$ を用いて表せ。

A

B

C

D

a

b

ω

回転軸は対角線 AC（破線）。図は

a > b

の一例

この問題で使うもの

慣性テンソルによる角運動量とトルク（説明と入口の問題）
慣性テンソルと主慣性モーメント（説明と入口の問題）
慣性モーメントの計算（説明と入口の問題）
空間ベクトルの外積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（102 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

板の重心を原点に、辺に平行な 2 軸と板に垂直な軸をとると、これらが慣性主軸になる。それぞれの主慣性モーメントを求める。

ヒント 2

角速度ベクトルを主軸成分 $ω = \frac{ω}{a ^{2} + b ^{2}} (a, b, 0)$ で書き、 $L = (I_{x} ω_{x}, I_{y} ω_{y}, I_{z} ω_{z})$ を計算する。

ヒント 3

板に固定された成分をもつ $L$ の時間変化は $\frac{d L}{d t} = ω \times L$ 。これが必要なトルクである。

答えと解説

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\frac{M ω ^{2} ab ( a ^{2} - b ^{2} )}{12 ( a ^{2} + b ^{2} )}

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解説を読む

慣性主軸と主慣性モーメント

板の重心 G を原点とし、板に固定した座標軸として、AB に平行に $x$ 軸、BC に平行に $y$ 軸、板に垂直に $z$ 軸をとる。対称性からこれらは慣性主軸であり、面密度を $σ = M / (ab)$ とすると
$I_{x} = \int y^{2} d m = σ a \int_{- b /2}^{b /2} y^{2} d y = \frac{M b ^{2}}{12}, I_{y} = \frac{M a ^{2}}{12}$
$I_{z} = I_{x} + I_{y} = \frac{M ( a ^{2} + b ^{2} )}{12}$
（薄板の直交軸の定理）。慣性乗積は対称性からすべて 0 である。

角速度と角運動量

$d = a^{2} + b^{2}$ とおく。対角線 AC の向きの単位ベクトルは $(a, b, 0) / d$ なので
$ω = \frac{ω}{d} (a, b, 0)$
慣性テンソルは対角行列なので、重心まわりの角運動量は
$L = (I_{x} ω_{x}, I_{y} ω_{y}, I_{z} ω_{z}) = \frac{M ω}{12 d} (a b^{2}, a^{2} b, 0)$
$I_{x} \neq = I_{y}$ （ $a \neq = b$ ）なので $L$ は $ω$ と平行でない。

必要なトルク

$L$ は板に固定された成分をもち、板とともに角速度 $ω$ で回転する（成分は時間によらない）。よって慣性系での時間変化は
$\frac{d L}{d t} = ω \times L$
で、これが軸受けから受けるトルク $N$ に等しい（重力は考えず、重心は回転軸上にあって静止している）。 $ω$ と $L$ は $x y$ 面内にあるので、外積は $z$ 成分だけで
$N_{z} = ω_{x} L_{y} - ω_{y} L_{x} = \frac{ω}{d} \cdot \frac{M ω}{12 d} (a \cdot a^{2} b - b \cdot a b^{2}) = \frac{M ω ^{2} ab ( a ^{2} - b ^{2} )}{12 ( a ^{2} + b ^{2} )}$
$a > b$ より正なので、トルクの大きさは
$\frac{M ω ^{2} ab ( a ^{2} - b ^{2} )}{12 ( a ^{2} + b ^{2} )}$
（ $a = b$ の正方形では 0 となり、対角線も慣性主軸になることと合う。）

別解

重心を原点とし、板の面を $x y$ 平面、 $x$ 軸を AB 方向（長さ $a$ ）、 $y$ 軸を BC 方向（長さ $b$ ）、 $z$ 軸を板に垂直にとる。この軸は主軸で、慣性テンソルは対角
$I_{xx} = \frac{M b ^{2}}{12}, I_{y y} = \frac{M a ^{2}}{12}, I_{z z} = \frac{M ( a ^{2} + b ^{2} )}{12}$
（ $I_{xx} = \int y^{2} d m$ は $y$ 方向の長さ $b$ で決まる。）
対角線 AC の向きの単位ベクトルは $n^= \frac{1}{d} (a, b, 0)$ 、 $d = a^{2} + b^{2}$ 。角速度ベクトルは $ω = ω n^$ 。
角運動量は
$L = I ω = \frac{ω}{d} (\frac{M b ^{2}}{12} a, \frac{M a ^{2}}{12} b, 0) = \frac{M ω ab}{12 d} (b, a, 0)$
$L$ は $ω$ と平行でない（ $a \neq = b$ ）ので、回転とともに $L$ の向きが変わる。 $ω$ は一定（大きさ・向きとも板に固定された軸で一定）なので、 $L$ は板とともに角速度 $ω$ で回る。
$τ = \frac{d L}{d t} = ω \times L$
$n^\times (b, a, 0) = \frac{1}{d} (a, b, 0) \times (b, a, 0) = \frac{1}{d} (0, 0, a \cdot a - b \cdot b) = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{d} z^$
よって
$τ = ω \cdot \frac{M ω ab}{12 d} \cdot \frac{a ^{2} - b ^{2}}{d} z^= \frac{M ω ^{2} ab ( a ^{2} - b ^{2} )}{12 ( a ^{2} + b ^{2} )} z^$
大きさは
$∣ τ ∣ = \frac{M ω ^{2} ab ( a ^{2} - b ^{2} )}{12 ( a ^{2} + b ^{2} )}$
（ $a > b$ なので正）。
検算: $a = b$ （正方形）では対角線が主軸となり $τ = 0$ で一致する。 $b \to 0$ でも $0$ （細い棒の軸まわりの回転）。別の見方として、軸まわりの慣性乗積 $I_{n ⊥}$ を使うと、軸に垂直な方向の遠心力のモーメントは $ω^{2} (I_{y y} - I_{xx}) sin α cos α$ 、 $sin α = b / d$ 、 $cos α = a / d$ より $ω^{2} \frac{M ( a ^{2} - b ^{2} )}{12} \frac{ab}{a ^{2} + b ^{2}}$ で一致する。

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