力学（質点・剛体）の問題

質量 $M$、1 辺の長さ $a$ の一様な立方体がある。立方体の 1 つの頂点 $\mathrm{O}$ を原点とし、$\mathrm{O}$ から出る 3 本の辺にそって $x$, $y$, $z$ 軸をとる。点 $\mathrm{O}$ のまわりの慣性テンソルの主慣性モーメント（慣性テンソルの固有値）のうち、最小のものと最大のものをこの順に組で求め、$M$, $a$ を用いて表せ。

質量 $M$ の一様な薄い長方形の板 ABCD があり、$\mathrm{AB}=a$, $\mathrm{BC}=b$（$a>b>0$）である。板の厚さは無視できるものとする。この板を、対角線 AC を回転軸として、一定の角速度の大きさ $\omega$ で回転させる。回転軸は軸受けで支えられており、重力は考えない。

板の重心に関する慣性テンソルを用いて角運動量を求め、回転軸を一定に保つために軸受けが板に及ぼす必要がある、重心まわりの力のモーメント（トルク）の大きさを $M,a,b,\omega$ を用いて表せ。

鉛直な軸のまわりに一定の角速度 $\Omega$ で回転する回転台に、なめらかな曲面がしっかり固定されている。曲面の最下点 $\mathrm{O}$ は回転軸上にある。回転台とともに回転する座標系で、$\mathrm{O}$ を原点とし、水平面内に互いに直交する $x$ 軸と $y$ 軸を、鉛直上向きに $z$ 軸をとる。$\mathrm{O}$ の近くで、曲面は
$$z=\frac{x^2}{2R}+\frac{y^2}{R}$$
で表される（$R$ は正の定数）。曲面はこの回転座標系に対して静止している。

質量 $m$ の質点が、この曲面上を摩擦なしにすべって動く。重力加速度の大きさを $g$ とし、回転の角速度は $\Omega =\sqrt{\frac{g}{3R}}$ に設定されている。質点は曲面から離れないものとし、空気抵抗は無視する。

質点を $\mathrm{O}$ の近くでわずかにずらすと、質点は回転座標系から見て $\mathrm{O}$ のまわりで微小振動する。$x$, $y$ およびその時間微分について 1 次の近似で運動方程式を立てたとき、回転座標系から見た 2 つの基準振動の角振動数（正の値）を、$g$, $R$ を用いて小さい順に組で求めよ。

質量 $m$ の質点が、固定された点 $\mathrm{O}$ からの距離 $r$ だけで決まるポテンシャル
$$U(r)=-\frac{k{e}^{-r/a}}{r}$$
（$k$, $a$ は正の定数）の中で運動する。質点にはこのポテンシャルによる力以外の力ははたらかず、非相対論的な古典力学で考える。

はじめ、質点は $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $a$ の円軌道を等速で回っていた。このとき、$\mathrm{O}$ のまわりの角運動量を変えないように、軌道面内で質点に半径方向のごく小さな乱れを与えた。その後、質点と $\mathrm{O}$ の距離 $r$ は $a$ の近くで振動する。

$r$ が極小になってから次に $r$ が極小になるまでのあいだに、質点が $\mathrm{O}$ のまわりに回る角 $\Delta \phi$（ラジアン）を求めよ。ただし、乱れは十分小さいとして、$r-a$ について 1 次の近似（微小振動の近似）で考えよ。

質量 $m$ の質点 $\mathrm{P}$ が、固定された点 $\mathrm{O}$ からの距離 $r$ だけで決まるポテンシャル
$$U(r)=-\frac{k}{r}-\frac{\beta }{r^3}$$
（$k$, $\beta$ は正の定数）の中で運動する。質点にはこのポテンシャルによる力（中心力）だけがはたらき、運動は相対論の効果を考えない古典力学にしたがうものとする。

質点 $\mathrm{P}$ は、はじめ $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $r_0$ の安定な円軌道を回っていた。この運動に、軌道面内でわずかな乱れを加えたところ、$\mathrm{P}$ の $\mathrm{O}$ からの距離 $r$ は $r_0$ の近くで微小振動するようになった。ずれの 1 次の近似で、$r$ が 1 回振動する間（近点から次の近点まで）に、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{O}$ のまわりをちょうど 2 周した（動径ベクトルが角度 $4\pi$ だけ回転した）。

このときの円軌道の半径 $r_0$ を、$k$, $\beta$ を用いて表せ。