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力学（質点・剛体）の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理力学（質点・剛体）

質量 $M$ 、1 辺の長さ $a$ の一様な立方体がある。立方体の 1 つの頂点 $O$ を原点とし、 $O$ から出る 3 本の辺にそって $x$ , $y$ , $z$ 軸をとる。点 $O$ のまわりの慣性テンソルの主慣性モーメント（慣性テンソルの固有値）のうち、最小のものと最大のものをこの順に組で求め、 $M$ , $a$ を用いて表せ。

O

a

x

y

z

この問題で使うもの

慣性テンソルと主慣性モーメント（説明と入口の問題）
固有値と固有ベクトル（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（91 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

定義 $I_{ij} = \int (r^{2} δ_{ij} - x_{i} x_{j}) d m$ にしたがって、慣性テンソルの 6 つの成分を積分で求める。

ヒント 2

対角成分はすべて $\frac{2}{3} M a^{2}$ 、非対角成分はすべて $- \frac{1}{4} M a^{2}$ になる。この形の行列は、すべての成分が $1$ の行列 $J$ を使って書ける。

ヒント 3

$J$ の固有値は $3$ （固有ベクトル $(1, 1, 1)$ ）と $0$ （重複度 2）である。

答えと解説

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(\frac{M a ^{2}}{6}, \frac{11 M a ^{2}}{12})

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解説を読む

密度を $ρ = M / a^{3}$ とし、積分範囲はすべて $0 \leq x, y, z \leq a$ とする。

慣性テンソルの成分

対角成分は
$I_{xx} = \int (y^{2} + z^{2}) d m = ρ (a \cdot \frac{a ^{3}}{3} \cdot a + a \cdot a \cdot \frac{a ^{3}}{3}) = \frac{2}{3} M a^{2},$
対称性から $I_{y y} = I_{z z} = \frac{2}{3} M a^{2}$ 。非対角成分は
$I_{x y} = - \int x y d m = - ρ \cdot \frac{a ^{2}}{2} \cdot \frac{a ^{2}}{2} \cdot a = - \frac{1}{4} M a^{2},$
同様に $I_{y z} = I_{z x} = - \frac{1}{4} M a^{2}$ 。よって
$I = M a^{2} \frac{2}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \frac{2}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \frac{2}{3} .$

固有値

$I = M a^{2} [(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}) E - \frac{1}{4} J]$ と書ける。ここで $E$ は単位行列、 $J$ はすべての成分が $1$ の $3 \times 3$ 行列である。 $J$ の固有値は $3$ （固有ベクトル $(1, 1, 1)$ ）と $0$ （ $(1, 1, 1)$ に垂直な 2 次元の空間、重複度 2）なので、 $I$ の固有値は
$M a^{2} (\frac{11}{12} - \frac{3}{4}) = \frac{1}{6} M a^{2}, M a^{2} \cdot \frac{11}{12} = \frac{11}{12} M a^{2} (重複度 2) .$

（確認: 固有値の和 $\frac{1}{6} + \frac{11}{12} \times 2 = 2$ は対角和 $\frac{2}{3} \times 3 = 2$ に一致する。）

よって最小値は $\frac{M a ^{2}}{6}$ （対角線 $(1, 1, 1)$ 方向の軸）、最大値は $\frac{11 M a ^{2}}{12}$ である。

別解

立方体は $0 \leq x, y, z \leq a$ を占め、密度は $ρ = M / a^{3}$ 。
対角成分:
$I_{xx} = \int (y^{2} + z^{2}) d m = M (\frac{a ^{2}}{3} + \frac{a ^{2}}{3}) = \frac{2 M a ^{2}}{3}$
$y$ , $z$ も同様に $I_{y y} = I_{z z} = \frac{2 M a ^{2}}{3}$ 。
非対角成分（ $⟨ x ⟩ = ⟨ y ⟩ = \frac{a}{2}$ で $x, y$ は独立）:
$I_{x y} = - \int x y d m = - M \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = - \frac{M a ^{2}}{4}$
他も同様に $I_{y z} = I_{z x} = - \frac{M a ^{2}}{4}$ 。
慣性テンソルは
$I = M a^{2} \frac{2}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \frac{2}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \frac{2}{3}$
形は $α E + β J$ （ $J$ は全成分 1 の行列）に等しく、 $α = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{11}{12}$ 、 $β = - \frac{1}{4}$ （ $E$ に $\frac{11}{12}$ を、全成分に $- \frac{1}{4}$ を加える形: 対角は $\frac{11}{12} - \frac{1}{4} = \frac{2}{3}$ ）。
固有ベクトル $(1, 1, 1)$ : 固有値 $\frac{11}{12} - \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{11}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{6}$ 。
$(1, 1, 1)$ に垂直な 2 方向（縮退）: 固有値 $\frac{11}{12}$ 。
よって主慣性モーメントは $\frac{M a ^{2}}{6}$ （1 つ、対角線 OO' まわり）と $\frac{11 M a ^{2}}{12}$ （2 重）。最小と最大を順に:
$(\frac{M a ^{2}}{6}, \frac{11 M a ^{2}}{12})$
検算: トレースは $3 \times \frac{2}{3} = 2$ で、固有値の和 $\frac{1}{6} + 2 \times \frac{11}{12} = \frac{1}{6} + \frac{11}{6} = 2$ 。立方体の対角線まわりの慣性モーメントは、重心まわりで $\frac{M a ^{2}}{6}$ 、頂点を通る同じ軸でも同じ（軸が重心を通る）で、整合する。

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