力学（質点・剛体）の問題

質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$ がある。棒上で端 $\mathrm{A}$ から距離 $\frac{L}{4}$ の点を $\mathrm{P}$ とする。点 $\mathrm{P}$ を通り棒に垂直な軸のまわりの、棒の慣性モーメントを $M$, $L$ を用いて表せ。ただし、棒の太さは無視できるものとする。

質量 $M$、1 辺の長さ $a$ の一様な立方体がある。立方体の 1 つの頂点 $\mathrm{O}$ を原点とし、$\mathrm{O}$ から出る 3 本の辺にそって $x$, $y$, $z$ 軸をとる。点 $\mathrm{O}$ のまわりの慣性テンソルの主慣性モーメント（慣性テンソルの固有値）のうち、最小のものと最大のものをこの順に組で求め、$M$, $a$ を用いて表せ。

重心のまわりの主慣性モーメントが $I_1=I_2$, $I_3$（$I_3>I_1$）である対称な剛体が、外力のトルクを受けずに重心のまわりで自由に回転している。剛体に固定した主軸座標（$x_3$ 軸が対称軸）で角速度を $\vec{\omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$ と表すと、${\omega }_3$ は正の一定値であり、$({\omega }_1,{\omega }_2)$ は $0$ でない。

オイラーの運動方程式を用いて、剛体に固定した座標系から見て $({\omega }_1,{\omega }_2)$ が回転する角振動数（${\omega }_1$, ${\omega }_2$ が単振動する角振動数）を、$I_1$, $I_3$, ${\omega }_3$ を用いて表せ。

水平面と角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなす粗い斜面上に、質量 $M$、半径 $R$ の薄い円筒（中心軸のまわりの慣性モーメント $M{R}^2$）を、中心軸が水平になるように置き、静かにはなした。円筒は斜面をすべらずに転がり落ちた。

円筒の中心（重心）の、斜面に沿った加速度の大きさを、$g$, $\theta$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗と転がり抵抗は無視する。

固定された直線の軸のまわりに、剛体を一定の角速度の大きさ $\omega$ で回転させる。軸上の点 O を原点とし、軸に沿って $z$ 軸をとる。剛体は、質量の無視できる細いシャフト（$z$ 軸に一致する）と、シャフトに垂直に固定された質量の無視できる 2 本の細い腕と、腕の先に取り付けた 2 つの小さなおもり P, Q（質点とみなす）からなる。

• おもり P（質量 $m$）は、$z=h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $a$ である。
• おもり Q（質量 $2m$）は、$z=-h$ の位置でシャフトに垂直に取り付けた腕の先にあり、軸からの距離は $\frac{a}{2}$ である。
• P と Q は、軸を含む 1 つの平面内で、軸をはさんで互いに反対側にある。

シャフトは $z=d$ と $z=-d$ の位置にある 2 つの軸受けで支えられていて、軸受けはシャフトに軸に垂直な向きの力だけを及ぼす。重力の影響は考えず、$a>0$, $h>0$, $d>0$, $m>0$, $\omega >0$ とする。

$z=d$ の位置の軸受けがシャフトに及ぼす力の大きさ $F$ を、$m$, $a$, $h$, $d$, $\omega$ を用いて表せ。