力学（質点・剛体）の問題

$xyz$ 座標空間で、質量 $m$ の 2 つの質点が点 $\mathrm{A}(a,0,0)$ と点 $\mathrm{B}(a,a,0)$ にあり、原点 $\mathrm{O}$ と軽い棒で固定されて 1 つの剛体をなしている（$a>0$）。棒の質量は無視できる。

この剛体の原点 $\mathrm{O}$ のまわりの慣性テンソル $I_{ij}=\sum m(r^2{\delta }_{ij}-x_i{x}_j)$ を求め、原点 $\mathrm{O}$ のまわりの 3 つの主慣性モーメントのうち最小のものを、$m$, $a$ を用いて表せ。

地球は、地軸のまわりに一定の角速度 $\Omega$ で自転している（角速度ベクトルは南極から北極の向き）。北緯 $\phi$（$0<\phi <\frac{\pi }{2}$）の地点で、質量 $m$ の物体が水平な地面に沿って真北に、地面に対して一定の速さ $v$ で動いている。

地球とともに回転する座標系で見たとき、この物体にはたらくコリオリ力の水平成分の大きさを、$m$, $\Omega$, $v$, $\phi$ を用いて表せ。ただし、地球は球とみなす。

内半径 $a$ の円筒形の容器に水を入れ、容器の中心軸を鉛直にして、中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回転させる。十分時間がたつと、水は容器とともに一体となって回転し、容器とともに回転する座標系から見て静止した。

このとき、容器の壁に接する位置での水面の高さは、中心軸上での水面の高さよりどれだけ高いか。$a$, $\omega$, $g$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、水はこぼれず、容器の底面は水面から出ないものとする。

水平面と角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなす粗い斜面上に、質量 $M$、半径 $R$ の薄い円筒（中心軸のまわりの慣性モーメント $M{R}^2$）を、中心軸が水平になるように置き、静かにはなした。円筒は斜面をすべらずに転がり落ちた。

円筒の中心（重心）の、斜面に沿った加速度の大きさを、$g$, $\theta$ を用いて表せ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗と転がり抵抗は無視する。

$xyz$ 座標空間（$z$ 軸は鉛直上向き）で、質量 $m$ の小物体が、位置 $(x,y,z)$ において力
$$\vec{F}=\left(-kx,-ky,-kz-mg\right)$$
だけを受けて運動する。ここで $k$ は正の定数、$g$ は重力加速度の大きさである。

この力は保存力である。小物体を点 $\mathrm{P}(a,0,0)$（$a>0$）で静かにはなすと、小物体は点 $\mathrm{Q}\left(0,0,-\frac{mg}{k}\right)$ を通過する。点 $\mathrm{Q}$ を通過するときの小物体の速さを、$m$, $k$, $g$, $a$ を用いて表せ。