オイラーの運動方程式とこまの運動

主軸座標でのオイラーの運動方程式 $I_{1} ω ˙_{1} - (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} = N_{1}$ などを使って、トルクのない対称こまの歳差の角振動数や、主軸のまわりの回転の安定性、重力によるこまの歳差運動の角速度を求められる

前提

慣性テンソルによる角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）

説明

剛体に固定した主軸座標（主軸 1, 2, 3 の向きに取った座標軸）で角速度の成分 $ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}$ がどう変わるかを表すのがオイラーの運動方程式
$I_{1} ω ˙_{1} - (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} = N_{1}, I_{2} ω ˙_{2} - (I_{3} - I_{1}) ω_{3} ω_{1} = N_{2}, I_{3} ω ˙_{3} - (I_{1} - I_{2}) ω_{1} ω_{2} = N_{3}$
です（ $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ は主慣性モーメント、 $N_{i}$ は外力のモーメントの主軸成分）。これを使うと、外力のモーメントがないときの対称な剛体の回転軸のふらつき（歳差）の角振動数、主軸のまわりの回転が安定かどうか、重力を受けて速く回るこまの軸が鉛直のまわりを回る角速度を求められます。

なぜそうしてよいのか

主軸座標では慣性テンソルが対角行列なので、 $L = I ω$ の成分は $L_{i} = I_{i} ω_{i}$ と簡単です。ただしこの座標軸は剛体とともに回っているので、 $L = \sum_{i} L_{i} e_{i}$ を時間で微分するときは成分 $L_{i}$ だけでなく基底 $e_{i}$ の変化も入ります。剛体に固定したベクトルは $\frac{d e _{i}}{d t} = ω \times e_{i}$ で動くので
$\frac{d L}{d t} = i \sum L ˙_{i} e_{i} + ω \times L$
です。これを $\frac{d L}{d t} = N$ に入れ、たとえば 1 成分を取ると $(ω \times L)_{1} = ω_{2} L_{3} - ω_{3} L_{2} = (I_{3} - I_{2}) ω_{2} ω_{3}$ なので $I_{1} ω ˙_{1} - (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} = N_{1}$ になります。残りの 2 本は添字を $1 \to 2 \to 3 \to 1$ と順にずらせば得られます。ここで $I_{i}$ は剛体に固定した軸のまわりの値なので時間によらない定数です。

対称こま（ $I_{1} = I_{2}$ ）で $N = 0$ なら、第 3 式から $ω_{3}$ は一定です。 $Ω = \frac{I _{3} - I _{1}}{I _{1}} ω_{3}$ とおくと第 1・2 式は $ω ˙_{1} = - Ω ω_{2}$ 、 $ω ˙_{2} = Ω ω_{1}$ となり、もう一度微分して代入すると $ω ¨_{1} + Ω^{2} ω_{1} = 0$ です。特性方程式 $λ^{2} + Ω^{2} = 0$ の解は $λ = \pm i Ω$ なので $ω_{1} = A cos (Ω t + α)$ 、 $ω_{2} = A sin (Ω t + α)$ で、剛体から見ると $ω$ は対称軸のまわりを角振動数 $∣Ω∣$ で回ります。同じ考えで、主軸 1 のまわりに $ω_{1} \approx ω_{0}$ で回っているところに小さな $ω_{2}, ω_{3}$ が加わったとき、 $ω_{2} ω_{3}$ を 2 次の微小量として捨てると $ω_{1}$ は一定とみなせ、 $ω ¨_{2} = \frac{( I _{3} - I _{1} ) ( I _{1} - I _{2} )}{I _{2} I _{3}} ω_{0}^{2} ω_{2}$ が得られます。係数が負、つまり $(I_{1} - I_{2}) (I_{1} - I_{3}) > 0$ （ $I_{1}$ が最大か最小）なら振動して小さいまま（安定）、 $I_{1}$ が中間の値なら指数関数的に増えて不安定です。

重力を受けるこま（質量 $M$ 、支点から重心まで $h$ ）が対称軸のまわりに速く回っているときは、 $L \approx I_{3} ω_{3} e_{3}$ と軸方向で近似できます。重力のモーメントは大きさ $M g h sin θ$ （ $θ$ は軸と鉛直のなす角）で水平向き、常に $L$ に垂直なので、 $L$ の大きさは変わらず水平成分 $L sin θ$ の向きだけが角速度 $Ω_{p}$ で回ります。 $Ω_{p} L sin θ = M g h sin θ$ から歳差の角速度は $Ω_{p} = \frac{M g h}{I _{3} ω _{3}}$ （ $I_{3} ω_{3}$ が十分大きいときの近似）です。

手順

剛体の主軸 1, 2, 3 と主慣性モーメント $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ を確認し、外力のモーメントの主軸成分 $N_{1}, N_{2}, N_{3}$ を求める（ないなら 0）
オイラーの運動方程式 3 本を書き下す: $I_{1} ω ˙_{1} - (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} = N_{1}$ と、添字を $1 \to 2 \to 3 \to 1$ とずらした 2 本
保存する量を見つける（対称こま $I_{1} = I_{2}$ で $N_{3} = 0$ なら $ω_{3}$ が一定）か、微小な成分の 2 次の項を捨てて、残りを定数係数の連立 1 次の式にする
一方を消して $ω ¨ + k ω = 0$ の形にし、 $k > 0$ なら角振動数 $k$ の振動（安定）、 $k < 0$ なら指数関数的に増える（不安定）と判定する。トルクのない対称こまでは $k = ∣Ω∣ = \frac{∣ I _{3} - I _{1} ∣}{I _{1}} ∣ ω_{3} ∣$
重力によるこまの歳差では、 $L \approx I_{3} ω_{3}$ として $Ω_{p} = \frac{M g h}{I _{3} ω _{3}}$ を計算する

例題

外力のモーメントがはたらかない一様な円柱があり、重心のまわりの主慣性モーメントは、対称軸（主軸 3）のまわりが $I_{3} = \frac{1}{2} M R^{2}$ 、それに垂直な 2 つの主軸のまわりが $I_{1} = I_{2} = \frac{1}{3} M R^{2}$ である。この円柱が、角速度の主軸 3 成分 $ω_{3} = ω_{0} (> 0)$ で回りながら、主軸 1, 2 の成分も持って運動している。円柱に固定した座標で見たとき、 $ω_{1}$ が振動する角振動数を求めよ。

例題の解答

【手順 1】主慣性モーメントは $I_{1} = I_{2} = \frac{1}{3} M R^{2}$ 、 $I_{3} = \frac{1}{2} M R^{2}$ 。外力のモーメントはないので $N_{1} = N_{2} = N_{3} = 0$ 。

【手順 2】オイラーの運動方程式は
$I_{1} ω ˙_{1} - (I_{1} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} = 0, I_{1} ω ˙_{2} - (I_{3} - I_{1}) ω_{3} ω_{1} = 0, I_{3} ω ˙_{3} = 0$
（第 3 式は $I_{1} = I_{2}$ から $(I_{1} - I_{2}) ω_{1} ω_{2} = 0$ ）。

【手順 3】第 3 式より $ω_{3} = ω_{0}$ で一定。 $Ω = \frac{I _{3} - I _{1}}{I _{1}} ω_{0}$ とおくと、第 1・2 式は $ω ˙_{1} = - Ω ω_{2}$ 、 $ω ˙_{2} = Ω ω_{1}$ 。

【手順 4】第 1 式を微分して第 2 式を代入すると $ω ¨_{1} = - Ω ω ˙_{2} = - Ω^{2} ω_{1}$ なので、 $ω_{1}$ は角振動数 $∣Ω∣$ で振動する。
$Ω = \frac{\frac{1}{2} M R ^{2} - \frac{1}{3} M R ^{2}}{\frac{1}{3} M R ^{2}} ω_{0} = \frac{1/6}{1/3} ω_{0} = \frac{ω _{0}}{2}$
よって角振動数は $\frac{ω _{0}}{2}$ 。

答え: $\frac{ω _{0}}{2}$

よくある誤り

オイラーの運動方程式の符号や添字の順を取り違えて $I_{1} ω ˙_{1} + (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} = N_{1}$ や $I_{1} ω ˙_{1} - (I_{3} - I_{2}) ω_{2} ω_{3} = N_{1}$ としてしまう誤り。正しくは $I_{1} ω ˙_{1} - (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} = N_{1}$ で、 $(ω \times L)_{1} = ω_{2} I_{3} ω_{3} - ω_{3} I_{2} ω_{2}$ から確かめられる
トルクのない対称こまの歳差の角振動数を $ω_{3}$ そのものや $\frac{I _{3}}{I _{1}} ω_{3}$ としてしまう誤り。オイラーの方程式から得られる剛体に固定した座標での角振動数は $\frac{∣ I _{3} - I _{1} ∣}{I _{1}} ∣ ω_{3} ∣$ （ $ω_{3}$ は角速度の対称軸成分）
主軸のまわりの回転は、どの主軸でも安定としてしまう誤り。 $(I_{1} - I_{2}) (I_{1} - I_{3}) > 0$ 、つまり $I_{1}$ が 3 つの中で最大か最小のときだけ安定で、中間の主慣性モーメントの軸のまわりの回転は小さな乱れが $e^{λ t}$ （ $λ^{2} = \frac{( I _{3} - I _{1} ) ( I _{1} - I _{2} )}{I _{2} I _{3}} ω_{0}^{2} > 0$ ）で増えて不安定
重力によるこまの歳差の角速度を $Ω_{p} = \frac{M g h sin θ}{I _{3} ω _{3}}$ と $sin θ$ を残してしまう誤り。トルク $M g h sin θ$ で回るのは $L$ の水平成分 $I_{3} ω_{3} sin θ$ なので、 $sin θ$ が約分されて $Ω_{p} = \frac{M g h}{I _{3} ω _{3}}$ （速く回るこまの近似）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
重心のまわりの主慣性モーメントが $I_{1} = I_{2}$ , $I_{3}$ （ $I_{3} > I_{1}$ ）である対称な剛体が、外力のトルクを受けずに重心のまわりで自由に回転している。剛体に固定した主軸座標（ $x_{3}$ 軸が対称軸）で角速度を $ω = (ω_{1}, ω_{2}, ω_{3})$ と表すと、 $ω_{3}$ は正の一定値であり、 $(ω_{1}, ω_{2})$ は $0$ でない。
オイラーの運動方程式を用いて、剛体に固定した座標系から見て $(ω_{1}, ω_{2})$ が回転する角振動数（ $ω_{1}$ , $ω_{2}$ が単振動する角振動数）を、 $I_{1}$ , $I_{3}$ , $ω_{3}$ を用いて表せ。
$x_{3}$ （対称軸）
対称な剛体と対称軸 $x_{3}$ の例