原子・分子物理とレーザーの問題

ナトリウム原子の基底状態 $3s$（主量子数 $n=3$、方位量子数 $l=0$）の項値（イオン化極限から測った束縛エネルギーを波数で表したもの）は $T(3,0)=4.145\times 10^4{\text{cm}}^{-1}$ である。アルカリ原子の項値が量子欠損 ${\delta }_l$ を用いて
$$T(n,l)=\frac{R}{(n-{\delta }_l{)}^2}$$
と表されるとし、有効主量子数 $n-{\delta }_l$ は正とする。リュードベリ定数を $R=1.097\times 10^5{\text{cm}}^{-1}$ とする。$s$ 状態の量子欠損 ${\delta }_0$ を有効数字 3 桁で求めよ。

基底電子状態が ${}^1\Sigma$ で、振動の基底状態 $v=0$ にある 2 原子分子の回転ラマンスペクトルを考える。回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の回転準位のエネルギーを $hc$ で割って波数単位（${\text{cm}}^{-1}$）で表したものを、遠心力ひずみを含めて
$$F(J)=BJ(J+1)-D{J}^2(J+1{)}^2$$
とする。ここで $B$ は回転定数、$D$ は遠心力ひずみ定数で、どちらも正の定数である。回転ラマン遷移の選択則は $\Delta J=0,\pm 2$ であり、ストークス側の回転ラマン線（S 枝）は $J\to J+2$ の遷移で生じる。この遷移による線を $S(J)$ と書き、そのラマンシフト（入射光と散乱光の波数の差）の大きさを $\Delta {\tilde{\nu }}_S(J)=F(J+2)-F(J)$ とする。

高分解能の測定により、次の 2 本の線のラマンシフトが得られた（測定誤差は無視できるものとする）。
$$\Delta {\tilde{\nu }}_S(0)=14.99964{\text{cm}}^{-1},\Delta {\tilde{\nu }}_S(10)=114.87764{\text{cm}}^{-1}$$

さらに、この分子の振動を調和振動子とみなしたときの振動波数を $\tilde{\omega }$（${\text{cm}}^{-1}$ 単位）とすると、遠心力ひずみ定数との間にクラッツァーの関係
$$D=\frac{4B^3}{{\tilde{\omega }}^2}$$
が成り立つものとする（回転定数の振動準位による違いは無視し、上の $B$ をそのまま用いる）。

$\tilde{\omega }$ の値を ${\text{cm}}^{-1}$ 単位の数値で求めよ。

水素原子 $\mathrm{H}$ と、ヘリウムイオン ${}^4{\mathrm{He}}^{+}$（電子を 1 個だけもつ水素様イオン、原子番号 $Z=2$）の発光スペクトルを比べる。原子番号 $Z$、核の質量 $M$ の水素様原子で、主量子数 $n$ の準位から $n^{\prime }$ の準位（$n>n^{\prime }$）へ電子が移るときに放出される光の真空中での波長 $\lambda$ は、核の有限質量（換算質量）の効果を含めて
$$\frac{1}{\lambda }=Z^2{R}_M\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right),R_M=\frac{R_{\infty }}{1+m_e/M}$$
で与えられるものとする。ここで $R_{\infty }=1.0973732\times 10^7{\text{m}}^{-1}$、陽子と電子の質量比を $m_p/m_e=1836.15$、${}^4\mathrm{He}$ 核（$\alpha$ 粒子）と電子の質量比を $m_{\alpha }/m_e=7294.30$ とする。微細構造・ラムシフトなどの補正は無視する。

水素のバルマー系列の $\mathrm{H}\alpha$ 線（$n=3\to n^{\prime }=2$）の波長を ${\lambda }_{\mathrm{H}}$ とする。${}^4{\mathrm{He}}^{+}$ のピッカリング系列（下の準位が $n^{\prime }=4$ の系列）の線のうち、波長が ${\lambda }_{\mathrm{H}}$ に最も近い線の波長を ${\lambda }_{\mathrm{He}}$ とするとき、差 ${\lambda }_{\mathrm{H}}-{\lambda }_{\mathrm{He}}$ を $\text{nm}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

異核 2 原子分子の純回転スペクトルを考える。分子は電子基底状態（${}^1\Sigma$）かつ振動の基底状態 $v=0$ にあるとする。遠心力ひずみを考慮すると、回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の準位のエネルギーは
$$E_J=h\left[BJ(J+1)-D{J}^2(J+1{)}^2\right]$$
で表される。ここで $h$ はプランク定数であり、回転定数 $B$ と遠心力ひずみ定数 $D$ はどちらも振動数の単位（Hz）で表した正の定数である。電気双極子遷移の選択則は $\Delta J=\pm 1$ である。

この分子のマイクロ波吸収スペクトルを測定したところ、$J=1\to 2$ の吸収線が $199993.6\text{MHz}$、$J=2\to 3$ の吸収線が $299978.4\text{MHz}$ に観測された。

また、分子の振動を調和振動子とみなしたときの振動数を ${\nu }_e$（Hz）とすると、$B$, $D$, ${\nu }_e$ の間には関係式（クラッツァーの関係）
$$D=\frac{4B^3}{{\nu }_e^2}$$
が成り立つものとする。

この分子の振動数 ${\nu }_e$ を THz 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つアルカリ原子の、上の準位 ${}^2{D}_{3/2}$（$S=\frac{1}{2}$, $L=2$, $J=\frac{3}{2}$）から下の準位 ${}^2{P}_{3/2}$（$S=\frac{1}{2}$, $L=1$, $J=\frac{3}{2}$）への電気双極子遷移による発光線を考える。

この原子を磁束密度 $B$ の一様な静磁場の中に置く。磁場は弱く、ゼーマン分裂は微細構造の間隔よりも十分小さい（異常ゼーマン効果の領域）とする。このとき、各準位は磁気量子数 $M_J$ ごとに
$$\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$$
だけずれる。ここで ${\mu }_B$ はボーア磁子、$g_J$ はランデの $g$ 因子であり、電子スピンの $g$ 因子は $g_s=2$、軌道の $g$ 因子は $g_l=1$ とする。核スピンの影響は無視する。

遷移の選択則は $\Delta M_J=0,\pm 1$ であり、このうち $\Delta M_J=\pm 1$ の遷移で出る光を $\sigma$ 成分とよぶ。磁場がないときの光子のエネルギーを $h{\nu }_0$ として、$\sigma$ 成分の各スペクトル線の光子のエネルギーの変化 $h\nu -h{\nu }_0$ を ${\mu }_{B}B$ を単位として表した値をすべて求め、集合として答えよ。