原子・分子物理とレーザーの問題

閉殻の外側に $3d$ 電子を 7 個もつイオン（電子配置 $[\text{Ar}]3d^7$、例えば ${\text{Co}}^{2+}$）の基底準位を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、閉殻の電子は全スピン・全軌道角運動量に寄与しないものとする。基底準位はフントの規則で決まるものとする。

この基底準位の全スピン量子数 $S$、全軌道角運動量量子数 $L$、全角運動量量子数 $J$ を、組 $(S,L,J)$ の形でこの順に求めよ。

閉殻の外側に $4f$ 電子を 3 個もつ 3 価のネオジムイオン ${\text{Nd}}^{3+}$（電子配置 $[\text{Xe}]4f^3$）の基底準位を考える。

• LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとする。
• 基底準位はフントの規則で決まるものとする。
• 閉殻の電子は全スピン・全軌道角運動量に寄与しない。
• 電子スピンの $g$ 因子は $g_s=2$ とする。
• 原子核のスピンは無視する。

この基底準位の全角運動量量子数を $J$、ランデの $g$ 因子を $g_J$ とすると、磁気モーメントの大きさは $\mu =g_J\sqrt{J(J+1)}{\mu }_B$ と表される（${\mu }_B$ はボーア磁子）。

$\mu /{\mu }_B=g_J\sqrt{J(J+1)}$ の値を求めよ。答えは根号を含む正確な値で答えよ。

閉殻の外側に $3d$ 電子を 2 個だけもつ原子またはイオン（電子配置 $[\text{Ar}]3d^2$、例えば ${\text{Ti}}^{2+}$）を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、閉殻の電子は全スピン角運動量・全軌道角運動量に寄与しないとする。2 個の $3d$ 電子は同じ $n,l$ をもつ等価電子なので、パウリの排他原理を満たす状態だけが許される。

この電子配置から生じるすべての LS 項 ${}^{2S+1}L$ について、全角運動量量子数 $J$ のとりうる値ごとに区別した準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ を考える。この電子配置から生じる準位の総数を $N$、フントの規則によって決まる基底準位の全角運動量量子数を $J_0$ とするとき、組 $(N,J_0)$ を求めよ。

閉殻の外側に $3p$ 電子を 2 個だけもつ原子（電子配置 $[\text{Ne}]3s^{2}3p^2$、例えばケイ素 Si）を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、閉殻の電子は全スピン・全軌道角運動量に寄与しないものとする。2 個の $3p$ 電子はパウリの排他原理に従う。

この電子配置から生じる LS 項（${}^{2S+1}L$）は、スピン軌道相互作用によって全角運動量量子数 $J$ の異なる準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ に分かれる（外部磁場はなく、同じ $J$ の $2J+1$ 個の状態は縮退しているものとする）。この電子配置から生じる準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ の総数を $N$、フントの規則で決まる基底準位の全角運動量量子数を $J_0$ とする。組 $(N,J_0)$ をこの順に求めよ。

閉殻の外側に $4f$ 電子を $3$ 個もつ 3 価のイオン（電子配置 $[\text{Xe}]4f^3$、例えば ${\text{Nd}}^{3+}$）を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、閉殻の電子は全スピン・全軌道角運動量に寄与しない。基底準位（全角運動量量子数 $J$ まで含めた最も低い準位）はフントの規則で決まるものとする。

このイオンの常磁性の有効磁子数 $p$ を、基底準位の量子数 $S,L,J$ とランデの g 因子
$$g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$$
（電子のスピン g 因子を $2$ とした式）を用いて $p=g_J\sqrt{J(J+1)}$ と定める。結晶場の影響は無視し、基底準位だけが占有されているものとして、$p$ の値を求めよ。答えは根号を含む正確な値で答えよ。