原子・分子物理とレーザーの問題

1. 微視的状態の数. $3d$ 軌道には $m_l=-2,\dots ,2$ の 5 通りとスピン $m_s=\pm \frac{1}{2}$ の 2 通りで、10 個の 1 電子状態がある。等価電子 2 個はパウリの排他原理により同じ状態を占めないので、微視的状態の数は
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$$
である。

2. 許される LS 項の決定（$M_L,M_S$ の表による方法）. $M_L=m_{l1}+m_{l2}$、$M_S=m_{s1}+m_{s2}$ とする。
- $M_L$ の最大値は 4 で、これは $m_{l1}=m_{l2}=2$ のときしか実現しない。パウリの原理からスピンは逆向きで $M_S=0$。よって ${}^{1}G$（$L=4,S=0$）がある。状態数 $9\times 1=9$。
- 次に $M_S=1$ での $M_L$ の最大値は $2+1=3$。よって ${}^{3}F$（$L=3,S=1$）がある。状態数 $7\times 3=21$。
- 残りの状態を数える。$M_S=1$ の状態の個数は $m_{l1}>m_{l2}$ の組の数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ で、${}^{3}F$ が $M_L=-3,\dots ,3$ の 7 個を使うので、$M_S=1$ で残るのは $M_L=1,0,-1$ の 3 個。よって ${}^{3}P$（状態数 $3\times 3=9$）がある。
- $M_S=0$ で $M_L=2$ の状態は $(2\uparrow ,0\downarrow ),(2\downarrow ,0\uparrow ),(1\uparrow ,1\downarrow )$ の 3 個で、${}^{1}G,{}^{3}F$ が 1 個ずつ使うので 1 個残る。よって ${}^{1}D$（状態数 5）がある。
- ここまでの合計は $9+21+9+5=44$ なので、残り 1 個は ${}^{1}S$ である。

よって許される項は ${}^{1}S,{}^{1}D,{}^{1}G,{}^{3}P,{}^{3}F$ で、状態数の合計は $1+5+9+9+21=45$ と一致する。

3. 準位の数. 各項の $J$ は $|L-S|\le J\le L+S$ の整数をとる。
- ${}^1{S}_0,{}^1{D}_2,{}^1{G}_4$：$S=0$ なので各 1 準位、計 3
- ${}^{3}P$：$J=0,1,2$ の 3 準位
- ${}^{3}F$：$J=2,3,4$ の 3 準位

したがって $N=3+3+3=9$。（確認: $\sum (2J+1)=1+5+9+(1+3+5)+(5+7+9)=45$。）

4. 基底準位（フントの規則）.
- 第 1 規則：$S$ が最大の項がもっとも低い。$S=1$ の ${}^{3}P,{}^{3}F$ が候補。
- 第 2 規則：同じ $S$ では $L$ が最大の項がもっとも低い。よって基底項は ${}^{3}F$。
- 第 3 規則：殻の電子数 2 は $3d$ 殻の定員 10 の半分 5 より少ないので、$J$ が最小の準位がもっとも低い。$J_0=|L-S|=3-1=2$。

基底準位は ${}^3{F}_2$ である。以上より $(N,J_0)=(9,2)$。

2 個の $d$ 電子（$l=1$ ではなく $l=2$）の許される LS 項を求める。パウリの排他原理より、スピン一重項（$S=0$、空間部分が対称）は $L$ が偶数、スピン三重項（$S=1$、空間部分が反対称）は $L$ が奇数。$l_1=l_2=2$ から $L=0,1,2,3,4$ が得られるので、$S=0$ では $L=0,2,4$ すなわち ${}^{1}S,{}^{1}D,{}^{1}G$、$S=1$ では $L=1,3$ すなわち ${}^{3}P,{}^{3}F$。状態数の確認: $1+5+9+3\cdot (3+7)=15+...$ ではなく $1+5+9+9+21=45=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)$ で一致する。準位の数: ${}^1{S}_0$（1）、${}^1{D}_2$（1）、${}^1{G}_4$（1）、${}^3{P}_{0,1,2}$（3）、${}^3{F}_{2,3,4}$（3）で合計 $N=1+1+1+3+3=9$。フントの規則: ① $S$ 最大の項 ${}^{3}P,{}^{3}F$、② そのうち $L$ 最大の ${}^{3}F$。③ 閉殻外の $d$ 殻は $10$ 電子中 2 個で半分未満なので $J=|L-S|=3-1=2$ が最低。基底準位は ${}^3{F}_2$、$J_0=2$。よって $(N,J_0)=(9,2)$。