原子・分子物理とレーザーの問題

閉殻の外側に $3d$ 電子を 7 個もつイオン（電子配置 $[\text{Ar}]3d^7$、例えば ${\text{Co}}^{2+}$）の基底準位を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、閉殻の電子は全スピン・全軌道角運動量に寄与しないものとする。基底準位はフントの規則で決まるものとする。

この基底準位の全スピン量子数 $S$、全軌道角運動量量子数 $L$、全角運動量量子数 $J$ を、組 $(S,L,J)$ の形でこの順に求めよ。

閉殻の外側に $3d$ 電子を 2 個だけもつ原子またはイオン（電子配置 $[\text{Ar}]3d^2$、例えば ${\text{Ti}}^{2+}$）を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、閉殻の電子は全スピン角運動量・全軌道角運動量に寄与しないとする。2 個の $3d$ 電子は同じ $n,l$ をもつ等価電子なので、パウリの排他原理を満たす状態だけが許される。

この電子配置から生じるすべての LS 項 ${}^{2S+1}L$ について、全角運動量量子数 $J$ のとりうる値ごとに区別した準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ を考える。この電子配置から生じる準位の総数を $N$、フントの規則によって決まる基底準位の全角運動量量子数を $J_0$ とするとき、組 $(N,J_0)$ を求めよ。

閉殻の外側に $4f$ 電子を 3 個もつ 3 価のネオジムイオン ${\text{Nd}}^{3+}$（電子配置 $[\text{Xe}]4f^3$）の基底準位を考える。

• LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとする。
• 基底準位はフントの規則で決まるものとする。
• 閉殻の電子は全スピン・全軌道角運動量に寄与しない。
• 電子スピンの $g$ 因子は $g_s=2$ とする。
• 原子核のスピンは無視する。

この基底準位の全角運動量量子数を $J$、ランデの $g$ 因子を $g_J$ とすると、磁気モーメントの大きさは $\mu =g_J\sqrt{J(J+1)}{\mu }_B$ と表される（${\mu }_B$ はボーア磁子）。

$\mu /{\mu }_B=g_J\sqrt{J(J+1)}$ の値を求めよ。答えは根号を含む正確な値で答えよ。

閉殻の外側に $4f$ 電子を 9 個もつイオン（電子配置 $[\text{Xe}]4f^9$）の基底状態を考える。LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つものとし、基底項はフントの規則で決まるものとする。閉殻の電子は全スピン角運動量・全軌道角運動量に寄与しない。

このイオンの基底状態の全スピン量子数 $S$、全軌道角運動量量子数 $L$、全角運動量量子数 $J$ を求め、組 $(S,L,J)$ の形でこの順に答えよ。

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つ原子の項 ${}^{3}F$（全スピン量子数 $S=1$、全軌道角運動量量子数 $L=3$）は、スピン軌道相互作用によって全角運動量量子数 $J$ の異なるいくつかの準位に分かれている。そのうちの 1 つの準位に着目し、この原子を磁束密度の大きさ $B$ の一様な弱い磁場中に置いたところ（異常ゼーマン効果）、着目した準位は等間隔に並ぶ 7 個の副準位に分裂した。

弱い磁場中での準位のエネルギーのずれは $\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$（${\mu }_B$ はボーア磁子、$M_J$ は磁気量子数、$g_J$ はランデの $g$ 因子）で与えられ、電子スピンの $g$ 因子は $g_s=2$ とする。

隣り合う副準位のエネルギー差を ${\mu }_{B}B$ で割った値を求めよ。