原子・分子物理とレーザーの問題

2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.300\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー型共振器の中に、長さ $l=0.200\text{m}$ の利得媒質を置いたガスレーザーを考える。共振器内の屈折率はどこでも $1$ とみなし、光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。鏡の強度反射率は一方が $R_1=1.00$、他方（出力鏡）が $R_2=0.90$ であり、鏡での反射以外の損失（散乱・吸収・回折）は無視する。横モードは基本モード（${\text{TEM}}_{00}$）だけを考える。

利得媒質の小信号利得係数（強度について、単位長さあたり）は、ドップラー広がりによって周波数 $\nu$ の関数として
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_{\text{D}}{)}^2}\right]$$
と表されるとする。ここで ${\nu }_0$ は利得の中心周波数、$\Delta {\nu }_{\text{D}}=1.60\text{GHz}$ は利得曲線の半値全幅であり、中心での値は $g_{0}l=0.210$ である。また、縦モードの 1 つが周波数 ${\nu }_0$ にちょうど一致しているものとする。必要なら $\log 0.90=-0.105$ を用いてよい。

共振器を 1 往復する間の小信号利得（媒質を 2 回通る）が鏡の反射による損失を上回る、すなわち $R_1{R}_2{e}^{2g(\nu )l}>1$ を満たす縦モードの数を求めよ。

2 つのエネルギー準位 $1$（下の準位、縮退度 $g_1$）と $2$（上の準位、縮退度 $g_2$）だけをもつ原子の集団を考える。2 準位のエネルギー差は $h\nu$ である（$h$ はプランク定数、$\nu$ は遷移の振動数）。準位 $2$ から準位 $1$ への自然放出のアインシュタイン係数を $A_{21}$、吸収・誘導放出のアインシュタイン係数をそれぞれ $B_{12}$, $B_{21}$ とする。すなわち、振動数 $\nu$ でのスペクトルエネルギー密度が $\rho (\nu )$ の放射の中で、準位 $1$ の原子 1 個が単位時間あたりに吸収を起こす確率は $B_{12}\rho (\nu )$、準位 $2$ の原子 1 個が単位時間あたりに誘導放出・自然放出を起こす確率はそれぞれ $B_{21}\rho (\nu )$, $A_{21}$ である。

$B_{12}$, $B_{21}$ の値は与えない。アインシュタイン係数は原子に固有の定数で、放射の温度によらない。そのため、$B_{12}$, $B_{21}$ は、無放射遷移がない原子の集団が任意の温度の黒体放射と熱平衡にあるとき、原子数の分布がその温度のボルツマン分布になり、放射がプランクの式に従うという条件（アインシュタインの関係式）から、$A_{21}$ と $g_1,g_2,h,\nu ,c$ を用いて表せる。

いま、この原子の集団を温度 $T$ の黒体放射の中に置く。放射のスペクトルエネルギー密度はプランクの式
$$\rho (\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$
で与えられる（$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。ただしこの原子は、放射との相互作用のほかに、衝突などによって準位 $2$ から準位 $1$ へ単位時間あたり確率 $\gamma$（$\gamma \ge 0$ の定数）で無放射遷移を起こす。無放射遷移による準位 $1$ から準位 $2$ への遷移は無視でき、原子は準位 $1$, $2$ 以外の状態をとらないものとする。また、遷移のスペクトル幅は $\rho (\nu )$ が変化する振動数の幅に比べて十分狭いものとする。

準位 $1$, $2$ の原子数をそれぞれ $N_1$, $N_2$ とするとき、定常状態での比 $\frac{N_2}{N_1}$ を、$g_1,g_2,A_{21},\gamma ,h,\nu ,k_B,T$ を用いて表せ。

下の準位 $1$（縮退度 $g_1$）と上の準位 $2$（縮退度 $g_2$）だけをもつ原子の集団を考える。2 準位のエネルギー差は $h\nu$ で、原子の総数 $N$ は一定とし、準位 $1$, $2$ にある原子数をそれぞれ $N_1$, $N_2$（$N_1+N_2=N$）とする。原子は等方的な放射の中に置かれており、遷移に関わるのは次の 3 つの放射過程だけとする（無放射遷移や衝突などのほかの緩和は無視する）。

• 吸収: 単位時間あたり $B_{12}\rho N_1$ 個の原子が $1\to 2$ に遷移する
• 誘導放出: 単位時間あたり $B_{21}\rho N_2$ 個の原子が $2\to 1$ に遷移する
• 自然放出: 単位時間あたり $A_{21}{N}_2$ 個の原子が $2\to 1$ に遷移する

ここで $\rho$ は振動数 $\nu$ における放射の（単位振動数あたりの）エネルギー密度で、スペクトル線の幅の範囲では一定とみなす。係数 $A_{21}$, $B_{12}$, $B_{21}$ は原子に固有の定数で、その間の関係は、温度 $T$ の熱平衡状態（原子数の比がボルツマン分布 $\frac{N_2}{N_1}=\frac{g_2}{g_1}{e}^{-h\nu /k_{\mathrm{B}}T}$ に従い、$\rho$ がプランクの放射式
$$\rho =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{\mathrm{B}}T}-1}$$
で与えられる状態）で、任意の $T$ について上の 3 過程がつり合うことから決まるものとする（$h$ はプランク定数、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$c$ は真空中の光速）。

いま、原子に当てる放射は熱放射とは限らず、そのエネルギー密度を、正の実数 $n$（1 つのモードあたりの平均光子数）を用いて
$$\rho =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}n$$
と表す。原子集団が定常状態にあるとき、正味の吸収率 $B_{12}\rho N_1-B_{21}\rho N_2$ を $B_{12}\rho N$ で割った量 $\eta$（放射が非常に弱い極限 $n\to 0$ で $1$ になる量）を、$g_1$, $g_2$, $n$ を用いて表せ。

アルカリ原子の価電子 1 個が $p$ 軌道（軌道角運動量量子数 $l=1$、スピン量子数 $s=\frac{1}{2}$）にある励起状態（項 ${}^{2}P$）を考える。閉殻の電子と原子核のスピンの影響は無視し、この項の中の 6 個の状態だけを考える。この原子を $z$ 軸の正の向きの、磁束密度の大きさ $B$（$B\ge 0$）の一様な磁場の中に置く。項の中でのハミルトニアンは、項の重心のエネルギーを $0$ として
$$H=\frac{A}{{\hslash }^2}\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}+\frac{{\mu }_{\mathrm{B}}B}{\hslash }\left(L_z+2S_z\right)$$
で与えられるとする。ここで $\mathbf{L}$, $\mathbf{S}$ は電子の軌道角運動量とスピン角運動量の演算子、$A>0$ はスピン軌道相互作用の定数、${\mu }_{\mathrm{B}}$ はボーア磁子であり、電子スピンの $g$ 因子は $2$ とした。反磁性の項など、これ以外の相互作用は無視する。

弱い磁場の極限ではゼーマン分裂、強い磁場の極限ではパッシェン・バック効果になるが、ここでは $B$ の大きさを限定しない。全角運動量の $z$ 成分の量子数が $M_J=m_l+m_s=+\frac{1}{2}$ である 2 つのエネルギー固有状態のエネルギーの差（高いほうから低いほうを引いたもの）を、$A$, ${\mu }_{\mathrm{B}}$, $B$ を用いて表せ。

基底電子状態にある異核 2 原子分子の振動準位を、非調和振動子のモデルで考える。振動量子数 $v$（$v=0,1,2,\dots$）の準位のエネルギーを $hc$ で割って波数単位（${\text{cm}}^{-1}$）で表したものを
$$G(v)={\omega }_e\left(v+\frac{1}{2}\right)-{\omega }_e{x}_e{\left(v+\frac{1}{2}\right)}^2$$
とする。ここで ${\omega }_e>0$, ${\omega }_e{x}_e>0$ は定数である。回転の影響は除いてあるものとする。

この分子の赤外吸収スペクトルで、振動の基本音（$v=0\to v=1$）のバンド中心が $2886{\text{cm}}^{-1}$、第 1 倍音（$v=0\to v=2$）のバンド中心が $5668{\text{cm}}^{-1}$ に観測された。

このモデルで、束縛された振動準位は $v=0$ と、$G(v)>G(v-1)$ を満たす正の整数 $v$ の準位であるとする（$G(v)$ が $v$ とともに増加する範囲だけでモデルが意味をもつとみなす）。束縛された振動準位の個数を求めよ。