レーザーの発振条件と発振モード数

往復の利得と損失の条件 $R_{1} R_{2} e^{2 g l} \geq 1$ からしきい値利得を求め、利得曲線と縦モード間隔から発振する縦モードの数を数えられる

前提

光共振器の縦モードと線幅（大学物理原子・分子物理とレーザー）
レート方程式と反転分布（大学物理原子・分子物理とレーザー）

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説明

レーザーが発振するには、共振器の中を光が 1 往復したとき、利得媒質で増える分が鏡での損失を上回る（少なくとも打ち消す）必要があります。この条件 $R_{1} R_{2} e^{2 g l} \geq 1$ から、発振に必要な最小の利得係数（しきい値利得） $g_{th}$ が求められます。さらに、周波数によって変わる利得 $g (ν)$ が $g_{th}$ を超える周波数の範囲に、縦モード（間隔 $\frac{c}{2 L}$ ）が何本入るかを数えれば、同時に発振する縦モードの数がわかります。レーザーの設計で、鏡の反射率や共振器長を決めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

利得媒質の中では、光の強さ $I$ は、そのときの強さに比例する割合で増えます。すなわち $\frac{d I}{d z} = g I$ （ $z$ は進んだ距離、 $g$ は利得係数で単位は $m^{- 1}$ ）で、これを解くと長さ $l$ の媒質を 1 回通るたびに強さは $e^{g l}$ 倍になります。利得係数 $g$ は反転分布の大きさに比例し、反転分布があるときだけ正になります。共振器を 1 往復すると、光は媒質を 2 回通り、反射率 $R_{1}$ , $R_{2}$ の鏡で 1 回ずつ反射するので、強さは
$I \to R_{1} R_{2} e^{2 g l} I$
になります。この倍率が 1 より小さければ往復のたびに光は弱まって消え、1 以上なら自然放出から始まった光が往復のたびに育ちます。よって発振の条件は $R_{1} R_{2} e^{2 g l} \geq 1$ で、両辺の自然対数をとると
$g \geq g_{th} = \frac{1}{2 l} lo g \frac{1}{R _{1} R _{2}}$
です。ここでの $g$ は、光がまだ弱く反転分布が光で減らされていないときの利得（小信号利得）です。光が強くなると誘導放出で反転分布が減って利得が下がり（利得の飽和）、定常的に発振しているモードの周波数では、そのモードが感じる利得がちょうど $g_{th}$ に落ち着きます。媒質内に吸収や散乱などの損失（損失係数 $α$ ）があるときは、往復の倍率が $R_{1} R_{2} e^{2 (g - α) l}$ になるので $g_{th} = α + \frac{1}{2 l} lo g \frac{1}{R _{1} R _{2}}$ です。

一方、共振器の中で往復を繰り返しても強め合う光は、往復の長さ $2 L$ が波長の整数倍になる周波数 $ν_{q} = q \frac{c}{2 L}$ （ $q$ は正の整数、共振器内の屈折率を 1 とする）に限られます。これが縦モードで、間隔は $Δ ν = \frac{c}{2 L}$ です。小信号利得 $g (ν)$ は原子の遷移の周波数 $ν_{0}$ を中心とする山形の曲線（利得曲線）です。

何本のモードが発振するかは、利得曲線の広がり方によります。ガスレーザーのドップラー広がりのように、周波数ごとに別々の原子の集団が利得を担っている場合（不均一広がり）は、あるモードが利得を飽和させても、ほかの周波数のモードの利得はほとんど減りません。このようにモード同士が利得を奪い合わないとみなせるときは、小信号利得が $g (ν) \geq g_{th}$ となる範囲に入っている縦モードがすべて同時に発振し、それぞれのモードの周波数でそのモードの利得が $g_{th}$ まで下がって落ち着きます。これに対し、すべての原子が全周波数に同じように寄与する均一広がりの媒質では、最初に発振したモードが利得曲線全体を $g_{th}$ まで引き下げるため、ほかのモードはしきい値に届かず（モード競合）、1 本のモードだけが発振しやすくなります。この技能で数えるのは、不均一広がりでモード競合を無視できる場合のモード数です。

手順

往復の条件 $R_{1} R_{2} e^{2 g l} \geq 1$ を書き、対数をとってしきい値利得 $g_{th} = \frac{1}{2 l} lo g \frac{1}{R _{1} R _{2}}$ を求める（ $l$ は利得媒質の長さ）
小信号利得曲線 $g (ν)$ について不等式 $g (ν) \geq g_{th}$ を解き、発振できる周波数の範囲を求める
共振器長 $L$ から縦モード間隔 $Δ ν = \frac{c}{2 L}$ を求める
縦モードの周波数の位置（たとえば $ν_{0}$ に 1 本あるなど）をもとに、発振できる範囲に入る縦モードを数える（不均一広がりでモード競合を無視できるとき、これらがすべて発振する）。範囲の幅を $Δ ν$ で割るだけで済ませず、モードの位置を確かめる

例題

長さ $L = 0.30 m$ の共振器の中に、長さ $l = 0.20 m$ の利得媒質がある。鏡の反射率は $R_{1} = 1.00$ , $R_{2} = 0.96$ で、それ以外の損失はない。小信号利得係数は周波数 $ν$ によって $g (ν) = g_{0} [1 - (\frac{ν - ν _{0}}{b})^{2}]$ （ $g_{0} = 0.136 m^{- 1}$ , $b = 2.4 GHz$ ）と表され、縦モードの 1 本はちょうど $ν_{0}$ にあるとする。媒質は不均一広がりで、モード同士の利得の奪い合い（モード競合）は無視でき、小信号利得がしきい値以上となる縦モードはすべて同時に発振するものとする。光速を $c = 3.0 \times 1 0^{8} m/s$ 、共振器内の屈折率を 1 とし、 $lo g \frac{1}{0.96} = 0.0408$ として計算してよい。発振する縦モードの数を求めよ。

例題の解答

手順 1: 往復の条件 $R_{1} R_{2} e^{2 g l} \geq 1$ より
$g_{th} = \frac{1}{2 l} lo g \frac{1}{R _{1} R _{2}} = \frac{0.0408}{2 \times 0.20 m} = 0.102 m^{- 1}$

手順 2: $g (ν) \geq g_{th}$ を解きます。 $\frac{g _{th}}{g _{0}} = \frac{0.102}{0.136} = \frac{3}{4}$ なので
$1 - (\frac{ν - ν _{0}}{b})^{2} \geq \frac{3}{4} ⟺ ∣ ν - ν_{0} ∣ \leq \frac{b}{2} = 1.2 GHz$

手順 3: 縦モード間隔は
$Δ ν = \frac{c}{2 L} = \frac{3.0 \times 1 0 ^{8}}{2 \times 0.30} Hz = 5.0 \times 1 0^{8} Hz = 0.50 GHz$

手順 4: 縦モードは $ν_{0}$ と、そこから $0.50 GHz$ ずつずれた位置にあります。 $∣ ν - ν_{0} ∣ \leq 1.2 GHz$ に入るのは、ずれが $0$ , $\pm 0.50$ , $\pm 1.0 GHz$ の 5 本です（次の $\pm 1.5 GHz$ は範囲の外）。モード競合は無視できるので、これらがすべて発振し、発振する縦モードは 5 本です。

答え: $5$

よくある誤り

媒質を往復で 2 回通ることを忘れて $R_{1} R_{2} e^{g l} \geq 1$ 、すなわち $g_{th} = \frac{1}{l} lo g \frac{1}{R _{1} R _{2}}$ としてしまう誤り。正しくは 1 往復の倍率は $R_{1} R_{2} e^{2 g l}$ で、 $g_{th} = \frac{1}{2 l} lo g \frac{1}{R _{1} R _{2}}$
利得媒質が共振器より短いのに、 $g_{th}$ の式の $l$ に共振器長 $L$ を使ってしまう誤り。利得が生じるのは媒質の中だけなので $g_{th}$ には媒質の長さ $l$ を使い、縦モード間隔 $\frac{c}{2 L}$ には共振器長 $L$ を使う（例題では $l = 0.20 m$ , $L = 0.30 m$ ）
発振できる範囲の幅を縦モード間隔で割って、その商だけでモード数を決めてしまう誤り。例題では $\frac{2.4 GHz}{0.50 GHz} = 4.8$ から「4 本」とするのは誤りで、 $ν_{0}$ にモードがあるので $0, \pm 0.50, \pm 1.0 GHz$ の 5 本。モードの位置によって本数は変わるので、位置を確かめて数える
縦モード間隔を $\frac{c}{L}$ としてしまう誤り。共振の条件は往復の長さ $2 L$ が波長の整数倍になることなので、正しくは $Δ ν = \frac{c}{2 L}$ （屈折率 $n$ の媒質で満たされていれば $\frac{c}{2 n L}$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
反射率 $R_{1} = 1.00$ と $R_{2} = 0.90$ の 2 枚の鏡で光共振器をつくり、その間に長さ $l = 0.50 m$ の利得媒質を置いたレーザーがある。利得媒質中で光の強度は単位長さあたりの利得係数 $g$ で $e^{g l}$ 倍に増幅され、損失は鏡の透過だけとする（媒質内の吸収・散乱などの損失は無視する）。共振器を 1 往復した光の強度が減らないための条件
$R_{1} R_{2} e^{2 g l} \geq 1$
から、発振に必要な利得係数の最小値（しきい値利得） $g_{th}$ を $m^{- 1}$ 単位で求めよ。答えは自然対数 $lo g$ を用いた正確な値で表せ。

レーザーの発振条件と発振モード数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題