原子・分子物理とレーザーの問題

4 準位レーザー媒質を考える。基底準位 $0$ の原子は、一定の速さ $R$（単位体積・単位時間あたりの原子数）でポンプ準位 $3$ に励起され、準位 $3$ からただちに上準位 $2$ へ緩和する。上準位 $2$ の原子は寿命 ${\tau }_2=230\mu \text{s}$ で、すべて下準位 $1$ へ自然に緩和し、下準位 $1$ の原子は寿命 ${\tau }_1=0.10\mu \text{s}$ で基底準位 $0$ へ緩和する。準位 $2$, $1$ の単位体積あたりの原子数を $N_2$, $N_1$ とし、レート方程式
$$\frac{d{N}_2}{dt}=R-\frac{N_2}{{\tau }_2},\frac{d{N}_1}{dt}=\frac{N_2}{{\tau }_2}-\frac{N_1}{{\tau }_1}$$
が成り立つとする（誘導放出・吸収は無視する）。定常状態での比 $\frac{N_2}{N_1}$ を求めよ。

気体レーザーの媒質中の 2 つの準位（下の準位 $1$、縮退度 $g_1$；上の準位 $2$、縮退度 $g_2$）の間の遷移で発振するレーザーを考える。この遷移について次のように与える。

• 遷移の中心波長は真空中で $\lambda =632.8\text{nm}$、媒質の屈折率は $1$ とする
• 準位 $2\to 1$ の自然放出のアインシュタイン A 係数は $A_{21}=3.40\times 10^6{\text{s}}^{-1}$
• 遷移の規格化された線形関数 $g(\nu )$（${\int }_0^{\infty }g(\nu )d\nu =1$）の中心振動数 ${\nu }_0$ での値は $g({\nu }_0)=6.00\times 10^{-10}\text{s}$

アインシュタインの B 係数は、放射の単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度 $\rho (\nu )$ に対して定義されたものとし、関係式
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3},g_1{B}_{12}=g_2{B}_{21}$$
を用いてよい（$h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速）。

この媒質（長さ $l=0.400\text{m}$）が、強度反射率 $R_1=1.000$ と $R_2=0.980$ の 2 枚の鏡からなる共振器の内部全体を満たしている。鏡での反射損失以外の損失（散乱・吸収・回折など）は無視し、光は振動数 ${\nu }_0$ で共振器軸に沿って往復するものとする。また、レーザー光の強度は小さく、準位の占有数密度は光によって変化しない（小信号近似）とする。

上の準位と下の準位の単位体積あたりの原子数をそれぞれ $N_2$, $N_1$ とするとき、発振が起こるために必要な反転分布 $\Delta N=N_2-\frac{g_2}{g_1}{N}_1$ のしきい値を、単位 ${\text{m}}^{-3}$ で有効数字 3 桁で求めよ。

長さ $L=0.50\text{m}$ の 2 枚の平面鏡からなるファブリ・ペロー型の光共振器（受動共振器、内部は真空で屈折率 $1$）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=0.99$, $R_2=0.98$ であり、鏡での透過以外の損失（回折損失・吸収など）はないものとする。光速を $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、1 往復（所要時間 $\frac{2L}{c}$）ごとに $R_1{R}_2$ 倍になる。これを連続的な指数関数的減衰 $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ とみなし、光子寿命 ${\tau }_c$ を
$$e^{-2L/(c{\tau }_c)}=R_1{R}_2$$
で定める。このとき共振器の各縦モードのスペクトルはローレンツ型となり、その半値全幅（線幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられる。

縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ を MHz 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。

2 枚の平面鏡を真空中で距離 $L=0.30\text{m}$ だけ離して向かい合わせた光共振器（ファブリ・ペロー共振器）がある。光速を $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$ とする。この共振器の隣り合う縦モードの周波数間隔 $\Delta \nu$ は何 MHz か。整数で答えよ。

真空中に置かれた長さ $L=0.25\text{m}$ のファブリ・ペロー型光共振器（2 枚の平面鏡を向かい合わせたもの）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=1.00$, $R_2=0.96$ で、共振器内では鏡の透過による損失のほかに損失はなく、利得媒質もない（受動共振器）とする。光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、往復時間 $t_{\mathrm{r}}=\frac{2L}{c}$ ごとに $R_1{R}_2$ 倍になり、時間について連続的に指数関数的に減衰するとみなす。すなわち強度を $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ と書き、$e^{-t_{\mathrm{r}}/{\tau }_c}=R_1{R}_2$ により光子寿命 ${\tau }_c$ を定める。共振器モードの線幅（周波数の半値全幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられるものとする。

この共振器の 1 つの縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ は何 MHz か。有効数字 2 桁で求めよ。