原子・分子物理とレーザーの問題

真空中に置かれた長さ $L=0.25\text{m}$ のファブリ・ペロー型光共振器（2 枚の平面鏡を向かい合わせたもの）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=1.00$, $R_2=0.96$ で、共振器内では鏡の透過による損失のほかに損失はなく、利得媒質もない（受動共振器）とする。光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、往復時間 $t_{\mathrm{r}}=\frac{2L}{c}$ ごとに $R_1{R}_2$ 倍になり、時間について連続的に指数関数的に減衰するとみなす。すなわち強度を $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ と書き、$e^{-t_{\mathrm{r}}/{\tau }_c}=R_1{R}_2$ により光子寿命 ${\tau }_c$ を定める。共振器モードの線幅（周波数の半値全幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられるものとする。

この共振器の 1 つの縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ は何 MHz か。有効数字 2 桁で求めよ。

気体レーザーの媒質中の 2 つの準位（下の準位 $1$、縮退度 $g_1$；上の準位 $2$、縮退度 $g_2$）の間の遷移で発振するレーザーを考える。この遷移について次のように与える。

• 遷移の中心波長は真空中で $\lambda =632.8\text{nm}$、媒質の屈折率は $1$ とする
• 準位 $2\to 1$ の自然放出のアインシュタイン A 係数は $A_{21}=3.40\times 10^6{\text{s}}^{-1}$
• 遷移の規格化された線形関数 $g(\nu )$（${\int }_0^{\infty }g(\nu )d\nu =1$）の中心振動数 ${\nu }_0$ での値は $g({\nu }_0)=6.00\times 10^{-10}\text{s}$

アインシュタインの B 係数は、放射の単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度 $\rho (\nu )$ に対して定義されたものとし、関係式
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3},g_1{B}_{12}=g_2{B}_{21}$$
を用いてよい（$h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速）。

この媒質（長さ $l=0.400\text{m}$）が、強度反射率 $R_1=1.000$ と $R_2=0.980$ の 2 枚の鏡からなる共振器の内部全体を満たしている。鏡での反射損失以外の損失（散乱・吸収・回折など）は無視し、光は振動数 ${\nu }_0$ で共振器軸に沿って往復するものとする。また、レーザー光の強度は小さく、準位の占有数密度は光によって変化しない（小信号近似）とする。

上の準位と下の準位の単位体積あたりの原子数をそれぞれ $N_2$, $N_1$ とするとき、発振が起こるために必要な反転分布 $\Delta N=N_2-\frac{g_2}{g_1}{N}_1$ のしきい値を、単位 ${\text{m}}^{-3}$ で有効数字 3 桁で求めよ。

2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.300\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー型共振器の中に、長さ $l=0.200\text{m}$ の利得媒質を置いたガスレーザーを考える。共振器内の屈折率はどこでも $1$ とみなし、光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。鏡の強度反射率は一方が $R_1=1.00$、他方（出力鏡）が $R_2=0.90$ であり、鏡での反射以外の損失（散乱・吸収・回折）は無視する。横モードは基本モード（${\text{TEM}}_{00}$）だけを考える。

利得媒質の小信号利得係数（強度について、単位長さあたり）は、ドップラー広がりによって周波数 $\nu$ の関数として
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_{\text{D}}{)}^2}\right]$$
と表されるとする。ここで ${\nu }_0$ は利得の中心周波数、$\Delta {\nu }_{\text{D}}=1.60\text{GHz}$ は利得曲線の半値全幅であり、中心での値は $g_{0}l=0.210$ である。また、縦モードの 1 つが周波数 ${\nu }_0$ にちょうど一致しているものとする。必要なら $\log 0.90=-0.105$ を用いてよい。

共振器を 1 往復する間の小信号利得（媒質を 2 回通る）が鏡の反射による損失を上回る、すなわち $R_1{R}_2{e}^{2g(\nu )l}>1$ を満たす縦モードの数を求めよ。

曲率半径 $R_1=R_2=0.60\text{m}$ の 2 枚の凹面鏡を、間隔 $L=0.30\text{m}$ で向かい合わせた対称な光共振器を考える。内部は真空（屈折率 $1$）とし、光速は $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

この共振器のエルミート・ガウスモード ${\mathrm{TEM}}_{mnq}$（$m,n=0,1,2,\dots$ は横モード次数、$q$ は正の整数の縦モード次数）の共振周波数は、
$${\nu }_{mnq}=\frac{c}{2L}\left[q+\frac{m+n+1}{\pi }\arccos \sqrt{g_1{g}_2}\right],g_i=1-\frac{L}{R_i}(i=1,2)$$
で与えられるものとする。

ある基本モード ${\mathrm{TEM}}_{00q}$ の共振周波数 ${\nu }_{00q}$ に着目する。すべてのモード（横モード・縦モードの次数を問わない）の共振周波数のうち、${\nu }_{00q}$ より高く、かつ ${\nu }_{00q}$ に最も近いものと ${\nu }_{00q}$ との差を、$\text{MHz}$ 単位で、分数を用いて正確に求めよ。ただし $q$ は十分大きいものとする。

反射率 $R_1=1.00$ と $R_2=0.90$ の 2 枚の鏡で光共振器をつくり、その間に長さ $l=0.50\text{m}$ の利得媒質を置いたレーザーがある。利得媒質中で光の強度は単位長さあたりの利得係数 $g$ で $e^{gl}$ 倍に増幅され、損失は鏡の透過だけとする（媒質内の吸収・散乱などの損失は無視する）。共振器を 1 往復した光の強度が減らないための条件
$$R_1{R}_2{e}^{2gl}\ge 1$$
から、発振に必要な利得係数の最小値（しきい値利得）$g_{\text{th}}$ を ${\text{m}}^{-1}$ 単位で求めよ。答えは自然対数 $\log$ を用いた正確な値で表せ。