光共振器の縦モードと線幅

2 枚の平面鏡を真空中で距離 $L=0.30\text{m}$ だけ離して向かい合わせた光共振器（ファブリ・ペロー共振器）がある。光速を $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$ とする。この共振器の隣り合う縦モードの周波数間隔 $\Delta \nu$ は何 MHz か。整数で答えよ。

真空中に置かれた長さ $L=0.25\text{m}$ のファブリ・ペロー型光共振器（2 枚の平面鏡を向かい合わせたもの）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=1.00$, $R_2=0.96$ で、共振器内では鏡の透過による損失のほかに損失はなく、利得媒質もない（受動共振器）とする。光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、往復時間 $t_{\mathrm{r}}=\frac{2L}{c}$ ごとに $R_1{R}_2$ 倍になり、時間について連続的に指数関数的に減衰するとみなす。すなわち強度を $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ と書き、$e^{-t_{\mathrm{r}}/{\tau }_c}=R_1{R}_2$ により光子寿命 ${\tau }_c$ を定める。共振器モードの線幅（周波数の半値全幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられるものとする。

この共振器の 1 つの縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ は何 MHz か。有効数字 2 桁で求めよ。

長さ $L=0.50\text{m}$ の 2 枚の平面鏡からなるファブリ・ペロー型の光共振器（受動共振器、内部は真空で屈折率 $1$）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=0.99$, $R_2=0.98$ であり、鏡での透過以外の損失（回折損失・吸収など）はないものとする。光速を $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、1 往復（所要時間 $\frac{2L}{c}$）ごとに $R_1{R}_2$ 倍になる。これを連続的な指数関数的減衰 $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ とみなし、光子寿命 ${\tau }_c$ を
$$e^{-2L/(c{\tau }_c)}=R_1{R}_2$$
で定める。このとき共振器の各縦モードのスペクトルはローレンツ型となり、その半値全幅（線幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられる。

縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ を MHz 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。

曲率半径 $R_1=R_2=0.60\text{m}$ の 2 枚の凹面鏡を、間隔 $L=0.30\text{m}$ で向かい合わせた対称な光共振器を考える。内部は真空（屈折率 $1$）とし、光速は $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

この共振器のエルミート・ガウスモード ${\mathrm{TEM}}_{mnq}$（$m,n=0,1,2,\dots$ は横モード次数、$q$ は正の整数の縦モード次数）の共振周波数は、
$${\nu }_{mnq}=\frac{c}{2L}\left[q+\frac{m+n+1}{\pi }\arccos \sqrt{g_1{g}_2}\right],g_i=1-\frac{L}{R_i}(i=1,2)$$
で与えられるものとする。

ある基本モード ${\mathrm{TEM}}_{00q}$ の共振周波数 ${\nu }_{00q}$ に着目する。すべてのモード（横モード・縦モードの次数を問わない）の共振周波数のうち、${\nu }_{00q}$ より高く、かつ ${\nu }_{00q}$ に最も近いものと ${\nu }_{00q}$ との差を、$\text{MHz}$ 単位で、分数を用いて正確に求めよ。ただし $q$ は十分大きいものとする。

2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.300\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー型共振器の中に、長さ $l=0.200\text{m}$ の利得媒質を置いたガスレーザーを考える。共振器内の屈折率はどこでも $1$ とみなし、光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。鏡の強度反射率は一方が $R_1=1.00$、他方（出力鏡）が $R_2=0.90$ であり、鏡での反射以外の損失（散乱・吸収・回折）は無視する。横モードは基本モード（${\text{TEM}}_{00}$）だけを考える。

利得媒質の小信号利得係数（強度について、単位長さあたり）は、ドップラー広がりによって周波数 $\nu$ の関数として
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_{\text{D}}{)}^2}\right]$$
と表されるとする。ここで ${\nu }_0$ は利得の中心周波数、$\Delta {\nu }_{\text{D}}=1.60\text{GHz}$ は利得曲線の半値全幅であり、中心での値は $g_{0}l=0.210$ である。また、縦モードの 1 つが周波数 ${\nu }_0$ にちょうど一致しているものとする。必要なら $\log 0.90=-0.105$ を用いてよい。

共振器を 1 往復する間の小信号利得（媒質を 2 回通る）が鏡の反射による損失を上回る、すなわち $R_1{R}_2{e}^{2g(\nu )l}>1$ を満たす縦モードの数を求めよ。

ヘリウム・ネオンレーザーの波長 ${\lambda }_0=632.8\text{nm}$ の発振を考える。共振器は、反射率（光の強度に対する反射率）$R_1=0.998$, $R_2=0.982$ の 2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.500\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー共振器で、その中に長さ $l=0.400\text{m}$ の放電管（利得媒質）が置かれている。共振器内の屈折率はすべて $1$ とし、鏡の透過以外の損失（吸収・散乱・回折など）は無視する。

利得媒質の小信号利得係数 $g(\nu )$ は、光の強度が媒質中を距離 $z$ 進むと $e^{g(\nu )z}$ 倍になるように定義し、ネオン原子の熱運動によるドップラー広がりで決まるガウス型
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_D{)}^2}\right]$$
で表されるものとする。ここで ${\nu }_0=c/{\lambda }_0$ は線の中心振動数、$g_0=0.100{\text{m}}^{-1}$ は中心での利得係数、$\Delta {\nu }_D$ は半値全幅（ドップラー幅）で、温度 $T$、原子の質量 $M$ の気体では
$$\Delta {\nu }_D={\nu }_0\sqrt{\frac{8k_{B}T\log 2}{M{c}^2}}$$
である。ネオン原子の質量を $M=20.18\text{u}$（$1\text{u}=1.661\times 10^{-27}\text{kg}$）、放電管内の気体の温度を $T=400\text{K}$、ボルツマン定数を $k_B=1.381\times 10^{-23}\text{J/K}$、真空中の光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器の縦モードのうち 1 つの振動数がちょうど ${\nu }_0$ に一致しているものとする。また、利得は不均一広がりなので、各縦モードはそれぞれの振動数での小信号利得が往復の損失を上回れば（すなわち、1 往復での強度の増幅率が $1$ を超えれば）独立に発振するものとし、横モードは基本モードだけを考える。このとき発振する縦モードの数を求めよ。