原子・分子物理とレーザーの問題

ヘリウム・ネオンレーザーの波長 ${\lambda }_0=632.8\text{nm}$ の発振を考える。共振器は、反射率（光の強度に対する反射率）$R_1=0.998$, $R_2=0.982$ の 2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.500\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー共振器で、その中に長さ $l=0.400\text{m}$ の放電管（利得媒質）が置かれている。共振器内の屈折率はすべて $1$ とし、鏡の透過以外の損失（吸収・散乱・回折など）は無視する。

利得媒質の小信号利得係数 $g(\nu )$ は、光の強度が媒質中を距離 $z$ 進むと $e^{g(\nu )z}$ 倍になるように定義し、ネオン原子の熱運動によるドップラー広がりで決まるガウス型
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_D{)}^2}\right]$$
で表されるものとする。ここで ${\nu }_0=c/{\lambda }_0$ は線の中心振動数、$g_0=0.100{\text{m}}^{-1}$ は中心での利得係数、$\Delta {\nu }_D$ は半値全幅（ドップラー幅）で、温度 $T$、原子の質量 $M$ の気体では
$$\Delta {\nu }_D={\nu }_0\sqrt{\frac{8k_{B}T\log 2}{M{c}^2}}$$
である。ネオン原子の質量を $M=20.18\text{u}$（$1\text{u}=1.661\times 10^{-27}\text{kg}$）、放電管内の気体の温度を $T=400\text{K}$、ボルツマン定数を $k_B=1.381\times 10^{-23}\text{J/K}$、真空中の光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器の縦モードのうち 1 つの振動数がちょうど ${\nu }_0$ に一致しているものとする。また、利得は不均一広がりなので、各縦モードはそれぞれの振動数での小信号利得が往復の損失を上回れば（すなわち、1 往復での強度の増幅率が $1$ を超えれば）独立に発振するものとし、横モードは基本モードだけを考える。このとき発振する縦モードの数を求めよ。

気体レーザーの媒質中の 2 つの準位（下の準位 $1$、縮退度 $g_1$；上の準位 $2$、縮退度 $g_2$）の間の遷移で発振するレーザーを考える。この遷移について次のように与える。

• 遷移の中心波長は真空中で $\lambda =632.8\text{nm}$、媒質の屈折率は $1$ とする
• 準位 $2\to 1$ の自然放出のアインシュタイン A 係数は $A_{21}=3.40\times 10^6{\text{s}}^{-1}$
• 遷移の規格化された線形関数 $g(\nu )$（${\int }_0^{\infty }g(\nu )d\nu =1$）の中心振動数 ${\nu }_0$ での値は $g({\nu }_0)=6.00\times 10^{-10}\text{s}$

アインシュタインの B 係数は、放射の単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度 $\rho (\nu )$ に対して定義されたものとし、関係式
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3},g_1{B}_{12}=g_2{B}_{21}$$
を用いてよい（$h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速）。

この媒質（長さ $l=0.400\text{m}$）が、強度反射率 $R_1=1.000$ と $R_2=0.980$ の 2 枚の鏡からなる共振器の内部全体を満たしている。鏡での反射損失以外の損失（散乱・吸収・回折など）は無視し、光は振動数 ${\nu }_0$ で共振器軸に沿って往復するものとする。また、レーザー光の強度は小さく、準位の占有数密度は光によって変化しない（小信号近似）とする。

上の準位と下の準位の単位体積あたりの原子数をそれぞれ $N_2$, $N_1$ とするとき、発振が起こるために必要な反転分布 $\Delta N=N_2-\frac{g_2}{g_1}{N}_1$ のしきい値を、単位 ${\text{m}}^{-3}$ で有効数字 3 桁で求めよ。

真空中に置かれた長さ $L=0.25\text{m}$ のファブリ・ペロー型光共振器（2 枚の平面鏡を向かい合わせたもの）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=1.00$, $R_2=0.96$ で、共振器内では鏡の透過による損失のほかに損失はなく、利得媒質もない（受動共振器）とする。光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、往復時間 $t_{\mathrm{r}}=\frac{2L}{c}$ ごとに $R_1{R}_2$ 倍になり、時間について連続的に指数関数的に減衰するとみなす。すなわち強度を $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ と書き、$e^{-t_{\mathrm{r}}/{\tau }_c}=R_1{R}_2$ により光子寿命 ${\tau }_c$ を定める。共振器モードの線幅（周波数の半値全幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられるものとする。

この共振器の 1 つの縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ は何 MHz か。有効数字 2 桁で求めよ。

基底電子状態が ${}^1\Sigma$ で、振動の基底状態 $v=0$ にある 2 原子分子の回転ラマンスペクトルを考える。回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の回転準位のエネルギーを $hc$ で割って波数単位（${\text{cm}}^{-1}$）で表したものを、遠心力ひずみを含めて
$$F(J)=BJ(J+1)-D{J}^2(J+1{)}^2$$
とする。ここで $B$ は回転定数、$D$ は遠心力ひずみ定数で、どちらも正の定数である。回転ラマン遷移の選択則は $\Delta J=0,\pm 2$ であり、ストークス側の回転ラマン線（S 枝）は $J\to J+2$ の遷移で生じる。この遷移による線を $S(J)$ と書き、そのラマンシフト（入射光と散乱光の波数の差）の大きさを $\Delta {\tilde{\nu }}_S(J)=F(J+2)-F(J)$ とする。

高分解能の測定により、次の 2 本の線のラマンシフトが得られた（測定誤差は無視できるものとする）。
$$\Delta {\tilde{\nu }}_S(0)=14.99964{\text{cm}}^{-1},\Delta {\tilde{\nu }}_S(10)=114.87764{\text{cm}}^{-1}$$

さらに、この分子の振動を調和振動子とみなしたときの振動波数を $\tilde{\omega }$（${\text{cm}}^{-1}$ 単位）とすると、遠心力ひずみ定数との間にクラッツァーの関係
$$D=\frac{4B^3}{{\tilde{\omega }}^2}$$
が成り立つものとする（回転定数の振動準位による違いは無視し、上の $B$ をそのまま用いる）。

$\tilde{\omega }$ の値を ${\text{cm}}^{-1}$ 単位の数値で求めよ。

異核 2 原子分子の純回転スペクトルを考える。分子は電子基底状態（${}^1\Sigma$）かつ振動の基底状態 $v=0$ にあるとする。遠心力ひずみを考慮すると、回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の準位のエネルギーは
$$E_J=h\left[BJ(J+1)-D{J}^2(J+1{)}^2\right]$$
で表される。ここで $h$ はプランク定数であり、回転定数 $B$ と遠心力ひずみ定数 $D$ はどちらも振動数の単位（Hz）で表した正の定数である。電気双極子遷移の選択則は $\Delta J=\pm 1$ である。

この分子のマイクロ波吸収スペクトルを測定したところ、$J=1\to 2$ の吸収線が $199993.6\text{MHz}$、$J=2\to 3$ の吸収線が $299978.4\text{MHz}$ に観測された。

また、分子の振動を調和振動子とみなしたときの振動数を ${\nu }_e$（Hz）とすると、$B$, $D$, ${\nu }_e$ の間には関係式（クラッツァーの関係）
$$D=\frac{4B^3}{{\nu }_e^2}$$
が成り立つものとする。

この分子の振動数 ${\nu }_e$ を THz 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。