原子・分子物理とレーザーの問題

ヘリウムイオン ${\mathrm{He}}^{+}$（原子番号 $Z=2$、電子 1 個の水素様イオン）で、電子が主量子数 $n=3$ の準位から $n^{\prime }=2$ の準位へ遷移するときに放出される光の波長 $\lambda$ を求めたい。水素様イオンの遷移で放出される光の波長は、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R{Z}^2\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right)(n>n^{\prime })$$
で与えられるものとする。ここで $R$ はリュードベリ定数であり、原子核の運動（換算質量の補正）は無視する。$\lambda$ を $R$ を用いて表せ。

反射率 $R_1=1.00$ と $R_2=0.90$ の 2 枚の鏡で光共振器をつくり、その間に長さ $l=0.50\text{m}$ の利得媒質を置いたレーザーがある。利得媒質中で光の強度は単位長さあたりの利得係数 $g$ で $e^{gl}$ 倍に増幅され、損失は鏡の透過だけとする（媒質内の吸収・散乱などの損失は無視する）。共振器を 1 往復した光の強度が減らないための条件
$$R_1{R}_2{e}^{2gl}\ge 1$$
から、発振に必要な利得係数の最小値（しきい値利得）$g_{\text{th}}$ を ${\text{m}}^{-1}$ 単位で求めよ。答えは自然対数 $\log$ を用いた正確な値で表せ。

ナトリウム原子の基底状態 $3s$（主量子数 $n=3$、方位量子数 $l=0$）の項値（イオン化極限から測った束縛エネルギーを波数で表したもの）は $T(3,0)=4.145\times 10^4{\text{cm}}^{-1}$ である。アルカリ原子の項値が量子欠損 ${\delta }_l$ を用いて
$$T(n,l)=\frac{R}{(n-{\delta }_l{)}^2}$$
と表されるとし、有効主量子数 $n-{\delta }_l$ は正とする。リュードベリ定数を $R=1.097\times 10^5{\text{cm}}^{-1}$ とする。$s$ 状態の量子欠損 ${\delta }_0$ を有効数字 3 桁で求めよ。

水素分子 ${\mathrm{H}}_2$ と、その一方の原子を重水素 D に置きかえた分子 $\mathrm{HD}$ の振動を考える。どちらの分子も、核間の結合を力の定数 $k$ のばねとみなす調和振動子で近似でき、振動準位は
$$E_v=\hslash \omega \left(v+\frac{1}{2}\right),\omega =\sqrt{\frac{k}{\mu }}(v=0,1,2,\dots )$$
で与えられる（$\mu$ は 2 原子の換算質量、$\hslash$ はディラック定数）。

化学結合は電子によって決まるので、${\mathrm{H}}_2$ と $\mathrm{HD}$ で力の定数 $k$ は等しいとする。また、H 原子の質量を $m$、D 原子の質量を $2m$ とする。$v=0$ から $v=1$ への振動遷移で吸収される光の振動数について、$\mathrm{HD}$ の値は ${\mathrm{H}}_2$ の値の何倍か。正確な値で求めよ。

気体レーザーの媒質中の 2 つの準位（下の準位 $1$、縮退度 $g_1$；上の準位 $2$、縮退度 $g_2$）の間の遷移で発振するレーザーを考える。この遷移について次のように与える。

• 遷移の中心波長は真空中で $\lambda =632.8\text{nm}$、媒質の屈折率は $1$ とする
• 準位 $2\to 1$ の自然放出のアインシュタイン A 係数は $A_{21}=3.40\times 10^6{\text{s}}^{-1}$
• 遷移の規格化された線形関数 $g(\nu )$（${\int }_0^{\infty }g(\nu )d\nu =1$）の中心振動数 ${\nu }_0$ での値は $g({\nu }_0)=6.00\times 10^{-10}\text{s}$

アインシュタインの B 係数は、放射の単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度 $\rho (\nu )$ に対して定義されたものとし、関係式
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3},g_1{B}_{12}=g_2{B}_{21}$$
を用いてよい（$h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速）。

この媒質（長さ $l=0.400\text{m}$）が、強度反射率 $R_1=1.000$ と $R_2=0.980$ の 2 枚の鏡からなる共振器の内部全体を満たしている。鏡での反射損失以外の損失（散乱・吸収・回折など）は無視し、光は振動数 ${\nu }_0$ で共振器軸に沿って往復するものとする。また、レーザー光の強度は小さく、準位の占有数密度は光によって変化しない（小信号近似）とする。

上の準位と下の準位の単位体積あたりの原子数をそれぞれ $N_2$, $N_1$ とするとき、発振が起こるために必要な反転分布 $\Delta N=N_2-\frac{g_2}{g_1}{N}_1$ のしきい値を、単位 ${\text{m}}^{-3}$ で有効数字 3 桁で求めよ。