原子・分子物理とレーザーの問題

下の準位 $1$（縮退度 $g_1$）と上の準位 $2$（縮退度 $g_2$）だけをもつ原子の集団を考える。2 準位のエネルギー差は $h\nu$ で、原子の総数 $N$ は一定とし、準位 $1$, $2$ にある原子数をそれぞれ $N_1$, $N_2$（$N_1+N_2=N$）とする。原子は等方的な放射の中に置かれており、遷移に関わるのは次の 3 つの放射過程だけとする（無放射遷移や衝突などのほかの緩和は無視する）。

• 吸収: 単位時間あたり $B_{12}\rho N_1$ 個の原子が $1\to 2$ に遷移する
• 誘導放出: 単位時間あたり $B_{21}\rho N_2$ 個の原子が $2\to 1$ に遷移する
• 自然放出: 単位時間あたり $A_{21}{N}_2$ 個の原子が $2\to 1$ に遷移する

ここで $\rho$ は振動数 $\nu$ における放射の（単位振動数あたりの）エネルギー密度で、スペクトル線の幅の範囲では一定とみなす。係数 $A_{21}$, $B_{12}$, $B_{21}$ は原子に固有の定数で、その間の関係は、温度 $T$ の熱平衡状態（原子数の比がボルツマン分布 $\frac{N_2}{N_1}=\frac{g_2}{g_1}{e}^{-h\nu /k_{\mathrm{B}}T}$ に従い、$\rho$ がプランクの放射式
$$\rho =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{\mathrm{B}}T}-1}$$
で与えられる状態）で、任意の $T$ について上の 3 過程がつり合うことから決まるものとする（$h$ はプランク定数、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$c$ は真空中の光速）。

いま、原子に当てる放射は熱放射とは限らず、そのエネルギー密度を、正の実数 $n$（1 つのモードあたりの平均光子数）を用いて
$$\rho =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}n$$
と表す。原子集団が定常状態にあるとき、正味の吸収率 $B_{12}\rho N_1-B_{21}\rho N_2$ を $B_{12}\rho N$ で割った量 $\eta$（放射が非常に弱い極限 $n\to 0$ で $1$ になる量）を、$g_1$, $g_2$, $n$ を用いて表せ。

エネルギー差 $E_2-E_1=h\nu$ の 2 つの準位（下の準位 1、上の準位 2）をもつ原子の集団が、絶対温度 $T$ の熱平衡にある黒体放射の中に置かれている。放射のエネルギー密度のスペクトル（単位体積・単位振動数あたり）はプランクの式
$$\rho (\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{\exp \left(\frac{h\nu }{k_{\mathrm{B}}T}\right)-1}$$
で与えられるとする。準位 2 にある 1 個の原子が単位時間あたりに自然放出を起こす確率を $A_{21}$、誘導放出を起こす確率を $B_{21}\rho (\nu )$ とし、アインシュタイン係数の間には
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}$$
の関係があるものとする。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数である。

遷移の波長（真空中）を $\lambda$ とする。準位 2 の原子について、誘導放出の確率と自然放出の確率がちょうど等しくなる温度 $T$ を、$h$, $c$, $k_{\mathrm{B}}$, $\lambda$ を用いて表せ。

エネルギー差 $h\nu$ の 2 準位（下の準位 1、上の準位 2）をもつ原子の集団が、温度 $T$ の黒体放射と熱平衡にある。黒体放射のエネルギー密度（単位振動数あたり）はプランクの式
$$u(\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\cdot \frac{1}{e^{h\nu /k_{B}T}-1}$$
で与えられる（$h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。上の準位の原子 1 個あたり、単位時間に自然放出が起こる確率は $A_{21}$、誘導放出が起こる確率は $B_{21}u(\nu )$ であり、アインシュタイン係数の間には
$$A_{21}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}{B}_{21}$$
の関係がある。

$\frac{h\nu }{k_{B}T}=\log 3$ のとき、上の準位の原子が単位時間に自然放出を起こす確率は、誘導放出を起こす確率の何倍か。

ヘリウム・ネオンレーザーの波長 ${\lambda }_0=632.8\text{nm}$ の発振を考える。共振器は、反射率（光の強度に対する反射率）$R_1=0.998$, $R_2=0.982$ の 2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.500\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー共振器で、その中に長さ $l=0.400\text{m}$ の放電管（利得媒質）が置かれている。共振器内の屈折率はすべて $1$ とし、鏡の透過以外の損失（吸収・散乱・回折など）は無視する。

利得媒質の小信号利得係数 $g(\nu )$ は、光の強度が媒質中を距離 $z$ 進むと $e^{g(\nu )z}$ 倍になるように定義し、ネオン原子の熱運動によるドップラー広がりで決まるガウス型
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_D{)}^2}\right]$$
で表されるものとする。ここで ${\nu }_0=c/{\lambda }_0$ は線の中心振動数、$g_0=0.100{\text{m}}^{-1}$ は中心での利得係数、$\Delta {\nu }_D$ は半値全幅（ドップラー幅）で、温度 $T$、原子の質量 $M$ の気体では
$$\Delta {\nu }_D={\nu }_0\sqrt{\frac{8k_{B}T\log 2}{M{c}^2}}$$
である。ネオン原子の質量を $M=20.18\text{u}$（$1\text{u}=1.661\times 10^{-27}\text{kg}$）、放電管内の気体の温度を $T=400\text{K}$、ボルツマン定数を $k_B=1.381\times 10^{-23}\text{J/K}$、真空中の光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器の縦モードのうち 1 つの振動数がちょうど ${\nu }_0$ に一致しているものとする。また、利得は不均一広がりなので、各縦モードはそれぞれの振動数での小信号利得が往復の損失を上回れば（すなわち、1 往復での強度の増幅率が $1$ を超えれば）独立に発振するものとし、横モードは基本モードだけを考える。このとき発振する縦モードの数を求めよ。

アルカリ原子の価電子 1 個が $p$ 軌道（軌道角運動量量子数 $l=1$、スピン量子数 $s=\frac{1}{2}$）にある励起状態（項 ${}^{2}P$）を考える。閉殻の電子と原子核のスピンの影響は無視し、この項の中の 6 個の状態だけを考える。この原子を $z$ 軸の正の向きの、磁束密度の大きさ $B$（$B\ge 0$）の一様な磁場の中に置く。項の中でのハミルトニアンは、項の重心のエネルギーを $0$ として
$$H=\frac{A}{{\hslash }^2}\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}+\frac{{\mu }_{\mathrm{B}}B}{\hslash }\left(L_z+2S_z\right)$$
で与えられるとする。ここで $\mathbf{L}$, $\mathbf{S}$ は電子の軌道角運動量とスピン角運動量の演算子、$A>0$ はスピン軌道相互作用の定数、${\mu }_{\mathrm{B}}$ はボーア磁子であり、電子スピンの $g$ 因子は $2$ とした。反磁性の項など、これ以外の相互作用は無視する。

弱い磁場の極限ではゼーマン分裂、強い磁場の極限ではパッシェン・バック効果になるが、ここでは $B$ の大きさを限定しない。全角運動量の $z$ 成分の量子数が $M_J=m_l+m_s=+\frac{1}{2}$ である 2 つのエネルギー固有状態のエネルギーの差（高いほうから低いほうを引いたもの）を、$A$, ${\mu }_{\mathrm{B}}$, $B$ を用いて表せ。