原子・分子物理とレーザーの問題

エネルギー差 $h\nu$ の 2 準位（下の準位 1、上の準位 2）をもつ原子の集団が、温度 $T$ の黒体放射と熱平衡にある。黒体放射のエネルギー密度（単位振動数あたり）はプランクの式
$$u(\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\cdot \frac{1}{e^{h\nu /k_{B}T}-1}$$
で与えられる（$h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。上の準位の原子 1 個あたり、単位時間に自然放出が起こる確率は $A_{21}$、誘導放出が起こる確率は $B_{21}u(\nu )$ であり、アインシュタイン係数の間には
$$A_{21}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}{B}_{21}$$
の関係がある。

$\frac{h\nu }{k_{B}T}=\log 3$ のとき、上の準位の原子が単位時間に自然放出を起こす確率は、誘導放出を起こす確率の何倍か。

気体レーザーの媒質中の 2 つの準位（下の準位 $1$、縮退度 $g_1$；上の準位 $2$、縮退度 $g_2$）の間の遷移で発振するレーザーを考える。この遷移について次のように与える。

• 遷移の中心波長は真空中で $\lambda =632.8\text{nm}$、媒質の屈折率は $1$ とする
• 準位 $2\to 1$ の自然放出のアインシュタイン A 係数は $A_{21}=3.40\times 10^6{\text{s}}^{-1}$
• 遷移の規格化された線形関数 $g(\nu )$（${\int }_0^{\infty }g(\nu )d\nu =1$）の中心振動数 ${\nu }_0$ での値は $g({\nu }_0)=6.00\times 10^{-10}\text{s}$

アインシュタインの B 係数は、放射の単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度 $\rho (\nu )$ に対して定義されたものとし、関係式
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3},g_1{B}_{12}=g_2{B}_{21}$$
を用いてよい（$h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速）。

この媒質（長さ $l=0.400\text{m}$）が、強度反射率 $R_1=1.000$ と $R_2=0.980$ の 2 枚の鏡からなる共振器の内部全体を満たしている。鏡での反射損失以外の損失（散乱・吸収・回折など）は無視し、光は振動数 ${\nu }_0$ で共振器軸に沿って往復するものとする。また、レーザー光の強度は小さく、準位の占有数密度は光によって変化しない（小信号近似）とする。

上の準位と下の準位の単位体積あたりの原子数をそれぞれ $N_2$, $N_1$ とするとき、発振が起こるために必要な反転分布 $\Delta N=N_2-\frac{g_2}{g_1}{N}_1$ のしきい値を、単位 ${\text{m}}^{-3}$ で有効数字 3 桁で求めよ。

2 つのエネルギー準位 $1$（下の準位、縮退度 $g_1$）と $2$（上の準位、縮退度 $g_2$）だけをもつ原子の集団を考える。2 準位のエネルギー差は $h\nu$ である（$h$ はプランク定数、$\nu$ は遷移の振動数）。準位 $2$ から準位 $1$ への自然放出のアインシュタイン係数を $A_{21}$、吸収・誘導放出のアインシュタイン係数をそれぞれ $B_{12}$, $B_{21}$ とする。すなわち、振動数 $\nu$ でのスペクトルエネルギー密度が $\rho (\nu )$ の放射の中で、準位 $1$ の原子 1 個が単位時間あたりに吸収を起こす確率は $B_{12}\rho (\nu )$、準位 $2$ の原子 1 個が単位時間あたりに誘導放出・自然放出を起こす確率はそれぞれ $B_{21}\rho (\nu )$, $A_{21}$ である。

$B_{12}$, $B_{21}$ の値は与えない。アインシュタイン係数は原子に固有の定数で、放射の温度によらない。そのため、$B_{12}$, $B_{21}$ は、無放射遷移がない原子の集団が任意の温度の黒体放射と熱平衡にあるとき、原子数の分布がその温度のボルツマン分布になり、放射がプランクの式に従うという条件（アインシュタインの関係式）から、$A_{21}$ と $g_1,g_2,h,\nu ,c$ を用いて表せる。

いま、この原子の集団を温度 $T$ の黒体放射の中に置く。放射のスペクトルエネルギー密度はプランクの式
$$\rho (\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$
で与えられる（$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。ただしこの原子は、放射との相互作用のほかに、衝突などによって準位 $2$ から準位 $1$ へ単位時間あたり確率 $\gamma$（$\gamma \ge 0$ の定数）で無放射遷移を起こす。無放射遷移による準位 $1$ から準位 $2$ への遷移は無視でき、原子は準位 $1$, $2$ 以外の状態をとらないものとする。また、遷移のスペクトル幅は $\rho (\nu )$ が変化する振動数の幅に比べて十分狭いものとする。

準位 $1$, $2$ の原子数をそれぞれ $N_1$, $N_2$ とするとき、定常状態での比 $\frac{N_2}{N_1}$ を、$g_1,g_2,A_{21},\gamma ,h,\nu ,k_B,T$ を用いて表せ。

下の準位 $1$（縮退度 $g_1$）と上の準位 $2$（縮退度 $g_2$）だけをもつ原子の集団を考える。2 準位のエネルギー差は $h\nu$ で、原子の総数 $N$ は一定とし、準位 $1$, $2$ にある原子数をそれぞれ $N_1$, $N_2$（$N_1+N_2=N$）とする。原子は等方的な放射の中に置かれており、遷移に関わるのは次の 3 つの放射過程だけとする（無放射遷移や衝突などのほかの緩和は無視する）。

• 吸収: 単位時間あたり $B_{12}\rho N_1$ 個の原子が $1\to 2$ に遷移する
• 誘導放出: 単位時間あたり $B_{21}\rho N_2$ 個の原子が $2\to 1$ に遷移する
• 自然放出: 単位時間あたり $A_{21}{N}_2$ 個の原子が $2\to 1$ に遷移する

ここで $\rho$ は振動数 $\nu$ における放射の（単位振動数あたりの）エネルギー密度で、スペクトル線の幅の範囲では一定とみなす。係数 $A_{21}$, $B_{12}$, $B_{21}$ は原子に固有の定数で、その間の関係は、温度 $T$ の熱平衡状態（原子数の比がボルツマン分布 $\frac{N_2}{N_1}=\frac{g_2}{g_1}{e}^{-h\nu /k_{\mathrm{B}}T}$ に従い、$\rho$ がプランクの放射式
$$\rho =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{\mathrm{B}}T}-1}$$
で与えられる状態）で、任意の $T$ について上の 3 過程がつり合うことから決まるものとする（$h$ はプランク定数、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$c$ は真空中の光速）。

いま、原子に当てる放射は熱放射とは限らず、そのエネルギー密度を、正の実数 $n$（1 つのモードあたりの平均光子数）を用いて
$$\rho =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}n$$
と表す。原子集団が定常状態にあるとき、正味の吸収率 $B_{12}\rho N_1-B_{21}\rho N_2$ を $B_{12}\rho N$ で割った量 $\eta$（放射が非常に弱い極限 $n\to 0$ で $1$ になる量）を、$g_1$, $g_2$, $n$ を用いて表せ。

水素原子の発光スペクトルの波長 $\lambda$ は、リュードベリ定数を $R$ として、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)(m,n\text{は正の整数},n>m)$$
で表されるものとする。ここで $m$ は遷移の下の準位、$n$ は上の準位の主量子数である。下の準位 $m$ を固定し、上の準位 $n$ を $n=m+1,m+2,\dots$ と変えて得られる一連の線をひとまとまりのスペクトル系列とよぶ（$m=1$ がライマン系列、$m=2$ がバルマー系列）。

下の準位が $m$ である系列について、その系列で最も長い波長 ${\lambda }_{\max }$ と、$n\to \infty$ の極限で線が集まる系列限界の波長 ${\lambda }_{\infty }$ の比 $\frac{{\lambda }_{\max }}{{\lambda }_{\infty }}$ を、$m$ を用いて表せ。