原子・分子物理とレーザーの問題

原子核の電荷が $Ze$（$Z$ は正の整数）で、電子を 1 個だけもつ水素様イオンの発光スペクトルを真空中で観測した。下の準位の主量子数が共通の値 $n^{\prime }$（正の整数）であるひとつのスペクトル系列に属する線のうち、波長が最も長い線の波長は ${\lambda }_1=450.2\text{nm}$、2 番目に長い線の波長は ${\lambda }_2=291.7\text{nm}$ であった。

波数はリュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=Z^{2}R\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right)(n=n^{\prime }+1,n^{\prime }+2,\dots )$$
で与えられるものとし、リュードベリ定数は $R=1.097\times 10^7{\text{m}}^{-1}$ とする（原子核の運動による補正、微細構造は無視する）。

この系列の下の準位の主量子数 $n^{\prime }$ と原子核の電荷数 $Z$ を、この順に組 $(n^{\prime },Z)$ で求めよ。

原子番号 $Z$ の水素様イオン（電子を 1 個だけもつ原子・イオン）で、主量子数 $n$ の準位から $n^{\prime }$ の準位（$n>n^{\prime }$）へ電子が移るときに放出される光の波長 $\lambda$ は、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R{Z}^2\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right)$$
で与えられるとする。ここで $R$ はリュードベリ定数であり、原子核の質量の違い（換算質量による補正）は無視して、水素原子 ($Z=1$) とヘリウムイオン ${\text{He}}^{+}$ ($Z=2$) で同じ値をとるものとする。

水素原子のバルマー系列の線のうち、$n=4$ から $n^{\prime }=2$ への遷移による線（${\text{H}}_{\beta }$ 線）を考える。${\text{He}}^{+}$ の、$n^{\prime }=4$ の準位へ落ちる遷移の系列（ピッカリング系列）の中で、${\text{H}}_{\beta }$ 線とちょうど同じ波長をもつ線を出す遷移の始状態の主量子数 $n$ を求めよ。

ヘリウムイオン ${\mathrm{He}}^{+}$（原子番号 $Z=2$、電子 1 個の水素様イオン）で、電子が主量子数 $n=3$ の準位から $n^{\prime }=2$ の準位へ遷移するときに放出される光の波長 $\lambda$ を求めたい。水素様イオンの遷移で放出される光の波長は、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R{Z}^2\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right)(n>n^{\prime })$$
で与えられるものとする。ここで $R$ はリュードベリ定数であり、原子核の運動（換算質量の補正）は無視する。$\lambda$ を $R$ を用いて表せ。

エネルギー差 $E_2-E_1=h\nu$ の 2 つの準位（下の準位 1、上の準位 2）をもつ原子の集団が、絶対温度 $T$ の熱平衡にある黒体放射の中に置かれている。放射のエネルギー密度のスペクトル（単位体積・単位振動数あたり）はプランクの式
$$\rho (\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{\exp \left(\frac{h\nu }{k_{\mathrm{B}}T}\right)-1}$$
で与えられるとする。準位 2 にある 1 個の原子が単位時間あたりに自然放出を起こす確率を $A_{21}$、誘導放出を起こす確率を $B_{21}\rho (\nu )$ とし、アインシュタイン係数の間には
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}$$
の関係があるものとする。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数である。

遷移の波長（真空中）を $\lambda$ とする。準位 2 の原子について、誘導放出の確率と自然放出の確率がちょうど等しくなる温度 $T$ を、$h$, $c$, $k_{\mathrm{B}}$, $\lambda$ を用いて表せ。

水素原子 $\mathrm{H}$ と、ヘリウムイオン ${}^4{\mathrm{He}}^{+}$（電子を 1 個だけもつ水素様イオン、原子番号 $Z=2$）の発光スペクトルを比べる。原子番号 $Z$、核の質量 $M$ の水素様原子で、主量子数 $n$ の準位から $n^{\prime }$ の準位（$n>n^{\prime }$）へ電子が移るときに放出される光の真空中での波長 $\lambda$ は、核の有限質量（換算質量）の効果を含めて
$$\frac{1}{\lambda }=Z^2{R}_M\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right),R_M=\frac{R_{\infty }}{1+m_e/M}$$
で与えられるものとする。ここで $R_{\infty }=1.0973732\times 10^7{\text{m}}^{-1}$、陽子と電子の質量比を $m_p/m_e=1836.15$、${}^4\mathrm{He}$ 核（$\alpha$ 粒子）と電子の質量比を $m_{\alpha }/m_e=7294.30$ とする。微細構造・ラムシフトなどの補正は無視する。

水素のバルマー系列の $\mathrm{H}\alpha$ 線（$n=3\to n^{\prime }=2$）の波長を ${\lambda }_{\mathrm{H}}$ とする。${}^4{\mathrm{He}}^{+}$ のピッカリング系列（下の準位が $n^{\prime }=4$ の系列）の線のうち、波長が ${\lambda }_{\mathrm{H}}$ に最も近い線の波長を ${\lambda }_{\mathrm{He}}$ とするとき、差 ${\lambda }_{\mathrm{H}}-{\lambda }_{\mathrm{He}}$ を $\text{nm}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。