原子・分子物理とレーザーの問題

異核 2 原子分子の振動回転スペクトルを考える。電子状態は ${}^1\Sigma$ の基底状態のままとし、振動量子数 $v$、回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の準位のエネルギーを波数単位で
$$\frac{E(v,J)}{hc}=G(v)+B_{v}J(J+1)$$
と表す。ここで $G(v)$ は振動のエネルギー（波数単位）、$B_v$ は振動状態 $v$ での回転定数であり、遠心力ひずみの項は無視する。

振動の基本帯 $v=0\to v=1$ の吸収では、選択則 $\Delta J=\pm 1$ に従い、下の準位の回転量子数を $J$ として、$\Delta J=+1$ の線を $R(J)$、$\Delta J=-1$ の線を $P(J)$ と書く。測定の結果、次の 4 本の線の波数が得られた。
$$R(0)=2416.30{\text{cm}}^{-1},R(1)=2432.10{\text{cm}}^{-1},P(1)=2383.20{\text{cm}}^{-1},P(2)=2365.90{\text{cm}}^{-1}$$

これらのデータから $B_0$ と $B_1$ を決め、$R$ 枝の線の波数が $J$ の関数として最大になる（バンドヘッドができる）ときの下の準位の回転量子数 $J$ を求めよ。ただし $J$ は 0 以上の整数とする。

基底電子状態にある異核 2 原子分子の振動準位を、非調和振動子のモデルで考える。振動量子数 $v$（$v=0,1,2,\dots$）の準位のエネルギーを $hc$ で割って波数単位（${\text{cm}}^{-1}$）で表したものを
$$G(v)={\omega }_e\left(v+\frac{1}{2}\right)-{\omega }_e{x}_e{\left(v+\frac{1}{2}\right)}^2$$
とする。ここで ${\omega }_e>0$, ${\omega }_e{x}_e>0$ は定数である。回転の影響は除いてあるものとする。

この分子の赤外吸収スペクトルで、振動の基本音（$v=0\to v=1$）のバンド中心が $2886{\text{cm}}^{-1}$、第 1 倍音（$v=0\to v=2$）のバンド中心が $5668{\text{cm}}^{-1}$ に観測された。

このモデルで、束縛された振動準位は $v=0$ と、$G(v)>G(v-1)$ を満たす正の整数 $v$ の準位であるとする（$G(v)$ が $v$ とともに増加する範囲だけでモデルが意味をもつとみなす）。束縛された振動準位の個数を求めよ。

基底電子状態が ${}^1\Sigma$ で、振動の基底状態 $v=0$ にある 2 原子分子の回転ラマンスペクトルを考える。回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の回転準位のエネルギーを $hc$ で割って波数単位（${\text{cm}}^{-1}$）で表したものを、遠心力ひずみを含めて
$$F(J)=BJ(J+1)-D{J}^2(J+1{)}^2$$
とする。ここで $B$ は回転定数、$D$ は遠心力ひずみ定数で、どちらも正の定数である。回転ラマン遷移の選択則は $\Delta J=0,\pm 2$ であり、ストークス側の回転ラマン線（S 枝）は $J\to J+2$ の遷移で生じる。この遷移による線を $S(J)$ と書き、そのラマンシフト（入射光と散乱光の波数の差）の大きさを $\Delta {\tilde{\nu }}_S(J)=F(J+2)-F(J)$ とする。

高分解能の測定により、次の 2 本の線のラマンシフトが得られた（測定誤差は無視できるものとする）。
$$\Delta {\tilde{\nu }}_S(0)=14.99964{\text{cm}}^{-1},\Delta {\tilde{\nu }}_S(10)=114.87764{\text{cm}}^{-1}$$

さらに、この分子の振動を調和振動子とみなしたときの振動波数を $\tilde{\omega }$（${\text{cm}}^{-1}$ 単位）とすると、遠心力ひずみ定数との間にクラッツァーの関係
$$D=\frac{4B^3}{{\tilde{\omega }}^2}$$
が成り立つものとする（回転定数の振動準位による違いは無視し、上の $B$ をそのまま用いる）。

$\tilde{\omega }$ の値を ${\text{cm}}^{-1}$ 単位の数値で求めよ。

2 原子分子のエネルギー準位を、調和振動子と剛体回転子の和
$$E(v,J)=\hslash \omega \left(v+\frac{1}{2}\right)+\frac{{\hslash }^2}{2\mu r_0^2}J(J+1)(v,J=0,1,2,\dots )$$
で近似する。ここで $\omega =\sqrt{k/\mu }$、$k$ は結合のばね定数、$\mu$ は換算質量、$r_0$ は核間距離であり、振動と回転の相互作用や非調和性は無視する。赤外吸収の選択則は $\Delta v=+1$, $\Delta J=\pm 1$ とし、$v=0$ から $v=1$ への吸収帯（基本帯）を考える。$\Delta J=+1$ の線を R 枝、$\Delta J=-1$ の線を P 枝とよび、始状態の回転量子数が $J$ の線をそれぞれ $\mathrm{R}(J)$, $\mathrm{P}(J)$ と書く。

分子 ${}^1\mathrm{H}{}^{35}\mathrm{Cl}$ の基本帯について、帯の中心の振動数 ${\nu }_0=\omega /(2\pi )$ と、帯の中心をはさんで隣り合う 2 本の線 $\mathrm{R}(0)$ と $\mathrm{P}(1)$ の振動数の差 $\Delta$ が測定されている。

同位体分子 ${}^2\mathrm{H}{}^{35}\mathrm{Cl}$（$\mathrm{D}{}^{35}\mathrm{Cl}$）の基本帯の $\mathrm{R}(0)$ 線の振動数を、${\nu }_0$ と $\Delta$ を用いて表せ。ただし、原子の質量は ${}^1\mathrm{H}$, ${}^2\mathrm{H}$, ${}^{35}\mathrm{Cl}$ でそれぞれ $1\mathrm{u}$, $2\mathrm{u}$, $35\mathrm{u}$ とし、ボルン・オッペンハイマー近似により $k$ と $r_0$ は 2 つの同位体分子で等しいとする。

異核 2 原子分子の純回転スペクトルを考える。分子は電子基底状態（${}^1\Sigma$）かつ振動の基底状態 $v=0$ にあるとする。遠心力ひずみを考慮すると、回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の準位のエネルギーは
$$E_J=h\left[BJ(J+1)-D{J}^2(J+1{)}^2\right]$$
で表される。ここで $h$ はプランク定数であり、回転定数 $B$ と遠心力ひずみ定数 $D$ はどちらも振動数の単位（Hz）で表した正の定数である。電気双極子遷移の選択則は $\Delta J=\pm 1$ である。

この分子のマイクロ波吸収スペクトルを測定したところ、$J=1\to 2$ の吸収線が $199993.6\text{MHz}$、$J=2\to 3$ の吸収線が $299978.4\text{MHz}$ に観測された。

また、分子の振動を調和振動子とみなしたときの振動数を ${\nu }_e$（Hz）とすると、$B$, $D$, ${\nu }_e$ の間には関係式（クラッツァーの関係）
$$D=\frac{4B^3}{{\nu }_e^2}$$
が成り立つものとする。

この分子の振動数 ${\nu }_e$ を THz 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。