ディラック方程式の非相対論的極限

小さい成分を消去してパウリ方程式を導き $g = 2$ を確かめ、 $(v / c)^{2}$ の次数で相対論的運動エネルギー補正 $- \frac{p ^{4}}{8 m ^{3} c ^{2}}$ 、スピン軌道相互作用 $\frac{1}{2 m ^{2} c ^{2}} \frac{1}{r} \frac{d V}{d r} L \cdot S$ 、ダーウィン項 $\frac{ℏ ^{2}}{8 m ^{2} c ^{2}} \nabla^{2} V$ を書き、水素型原子の各補正の期待値と微細構造 $E_{nj}^{(1)} = - \frac{m c ^{2} ( Z α ) ^{4}}{2 n ^{4}} (\frac{n}{j + 1/2} - \frac{3}{4})$ を求められる

前提

ディラック方程式と自由粒子の解（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
スピン軌道相互作用と微細構造（大学物理原子・分子物理とレーザー）

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三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
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定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
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スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
ディラック方程式と自由粒子の解（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
原子の構成と質量数（高校化学物質の構成と化学結合）
電子殻と電子配置（高校化学物質の構成と化学結合）
調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
角運動量の固有状態と昇降演算子（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
角運動量の合成と項記号（大学物理原子・分子物理とレーザー）
スピン軌道相互作用と微細構造（大学物理原子・分子物理とレーザー）

説明

ディラック方程式の 4 成分スピノルを「大きい成分」と「小さい成分」に分け、小さい成分を消去して、速さ $v ≪ c$ の粒子に対する 2 成分の方程式を導く技能です。最低次ではスピンの磁気モーメントが $g = 2$ で現れるパウリ方程式が得られ、次の $(v / c)^{2}$ の次数では、相対論的運動エネルギー補正・スピン軌道相互作用・ダーウィン項の 3 つの補正項が出てきます。水素型原子ではこれらの期待値を足し合わせて微細構造 $E_{nj}^{(1)} = - \frac{m c ^{2} ( Z α ) ^{4}}{2 n ^{4}} (\frac{n}{j + 1/2} - \frac{3}{4})$ が得られます。

なぜそうしてよいのか

電磁場中のディラックのハミルトニアンは $H = c α \cdot π + β m c^{2} + V$ （ $π = p - q A$ 、 $q$ は粒子の電荷、 $V = q ϕ$ ）です。ディラック表示で $ψ = (φ χ)$ （ $φ, χ$ は 2 成分）と書き、エネルギーを $E = m c^{2} + ε$ と静止エネルギーから測ると
$(ε - V) φ = c σ \cdot π χ, (ε - V + 2 m c^{2}) χ = c σ \cdot π φ$
となります。 $ε, V$ は $m c^{2}$ よりずっと小さいので、2 本目から $χ \approx \frac{σ \cdot π}{2 m c} φ$ で、 $χ$ は $φ$ の $v / c$ 倍程度に小さい（これが「小さい成分」）。1 本目に代入すると $εφ = [\frac{( σ \cdot π ) ^{2}}{2 m} + V] φ$ 。パウリ行列の性質 $(σ \cdot a) (σ \cdot b) = a \cdot b + i σ \cdot (a \times b)$ と、演算子どうしでは $π \times π = i q ℏ B$ となることから $(σ \cdot π)^{2} = π^{2} - q ℏ σ \cdot B$ です。よって $H_{P} = \frac{π ^{2}}{2 m} + V - \frac{q}{m} S \cdot B$ （ $S = \frac{ℏ}{2} σ$ ）というパウリ方程式が出ます。スピンの磁気モーメントを $μ = g \frac{q}{2 m} S$ と書くと $- μ \cdot B$ との比較で $g = 2$ が、手で入れることなく現れます。

次の次数（ $A = 0$ 、 $V$ は静的とする）では、 $\frac{c ^{2}}{ε - V + 2 m c ^{2}} \approx \frac{1}{2 m} (1 - \frac{ε - V}{2 m c ^{2}})$ まで展開して $χ$ を 1 本目に代入します。 $ε - V$ は $p$ と交換しない演算子なので、 $σ \cdot p$ の間にはさんだ順序のまま残すと
$εφ = [\frac{p ^{2}}{2 m} + V - \frac{1}{4 m ^{2} c ^{2}} σ \cdot p (ε - V) σ \cdot p] φ, すなわち ε (1 + \frac{p ^{2}}{4 m ^{2} c ^{2}}) φ = [\frac{p ^{2}}{2 m} + V + \frac{1}{4 m ^{2} c ^{2}} σ \cdot p V σ \cdot p] φ$
です（ $(σ \cdot p)^{2} = p^{2}$ を使った）。ところが規格化は $\int (∣ φ ∣^{2} + ∣ χ ∣^{2}) d^{3} r = 1$ で、 $\int ∣ χ ∣^{2} \approx \int φ^{†} \frac{p ^{2}}{4 m ^{2} c ^{2}} φ$ なので、 $φ$ そのものは規格化された 2 成分波動関数ではありません。そこで $Ω = 1 + \frac{p ^{2}}{8 m ^{2} c ^{2}}$ として $Φ = Ω φ$ （ $\int ∣Φ ∣^{2} = 1$ がこの次数で成り立つ）を選び直します。 $φ = Ω^{- 1} Φ$ 、 $Ω^{- 1} \approx 1 - \frac{p ^{2}}{8 m ^{2} c ^{2}}$ を代入し左から $Ω^{- 1}$ を掛けると、 $Ω^{- 1} (1 + \frac{p ^{2}}{4 m ^{2} c ^{2}}) Ω^{- 1} \approx 1$ なので
$ε Φ = Ω^{- 1} [\frac{p ^{2}}{2 m} + V + \frac{1}{4 m ^{2} c ^{2}} σ \cdot p V σ \cdot p] Ω^{- 1} Φ$
となります。右辺を $1/ c^{2}$ の 1 次まで展開すると、(i) $Ω^{- 1} \frac{p ^{2}}{2 m} Ω^{- 1} \approx \frac{p ^{2}}{2 m} - \frac{p ^{4}}{8 m ^{3} c ^{2}}$ 、(ii) $Ω^{- 1} V Ω^{- 1} \approx V - \frac{1}{8 m ^{2} c ^{2}} (p^{2} V + V p^{2})$ 、(iii) $\frac{1}{4 m ^{2} c ^{2}} σ \cdot p V σ \cdot p$ です。ここで $V$ と $p = - i ℏ\nabla$ の非可換性 $p_{i} V = V p_{i} - i ℏ \partial_{i} V$ を使うと
$p^{2} V + V p^{2} = 2 V p^{2} - ℏ^{2} \nabla^{2} V - 2 i ℏ \nabla V \cdot p,$
$σ \cdot p V σ \cdot p = p_{i} V p_{i} + i σ \cdot (p \times V p) = V p^{2} - i ℏ \nabla V \cdot p + ℏ σ \cdot (\nabla V \times p)$
（ $p \times V p = V p \times p - i ℏ\nabla V \times p = - i ℏ\nabla V \times p$ ）。(ii) と (iii) の $1/ c^{2}$ の部分を足すと、 $V p^{2}$ と $\nabla V \cdot p$ の項がちょうど打ち消し
$\frac{1}{8 m ^{2} c ^{2}} [- 2 V p^{2} + ℏ^{2} \nabla^{2} V + 2 i ℏ\nabla V \cdot p + 2 V p^{2} - 2 i ℏ\nabla V \cdot p + 2ℏ σ \cdot (\nabla V \times p)] = \frac{ℏ ^{2}}{8 m ^{2} c ^{2}} \nabla^{2} V + \frac{ℏ}{4 m ^{2} c ^{2}} σ \cdot (\nabla V \times p)$
が残ります。 $V$ が球対称なら $\nabla V = \frac{1}{r} \frac{d V}{d r} r$ で $σ \cdot (r \times p) = σ \cdot L$ 、 $\frac{ℏ}{4} σ = \frac{1}{2} S$ なので、結局
$H = \frac{p ^{2}}{2 m} + V - \frac{p ^{4}}{8 m ^{3} c ^{2}} + \frac{1}{2 m ^{2} c ^{2}} \frac{1}{r} \frac{d V}{d r} L \cdot S + \frac{ℏ ^{2}}{8 m ^{2} c ^{2}} \nabla^{2} V$
が得られます。第 3 項は $p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4} - m c^{2}$ を展開した次の項、第 4 項がスピン軌道相互作用（トーマス歳差の効果も自動的に含まれる）、第 5 項がダーウィン項で、電子の位置が $ℏ/ m c$ 程度ぼやけて感じるポテンシャルの平均と解釈できます。

水素型原子 $V = - \frac{Z α ℏ c}{r}$ （ $α = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} ℏ c}$ ）では、非摂動の状態 $∣ n l j m_{j} ⟩$ での期待値を足します。 $E_{n} = - \frac{m c ^{2} ( Z α ) ^{2}}{2 n ^{2}}$ 、 $a = \frac{ℏ}{Z α m c}$ 、 $ε_{4} = m c^{2} (Z α)^{4}$ と書き、 $⟨ \frac{1}{r} ⟩ = \frac{1}{n ^{2} a}$ 、 $⟨ \frac{1}{r ^{2}} ⟩ = \frac{1}{n ^{3} ( l + \frac{1}{2} ) a ^{2}}$ 、 $⟨ \frac{1}{r ^{3}} ⟩ = \frac{1}{n ^{3} l ( l + \frac{1}{2} ) ( l + 1 ) a ^{3}}$ （ $l \geq 1$ ）を使います。運動エネルギー補正は $p^{2} = 2 m (H_{0} - V)$ から
$⟨ H_{kin} ⟩ = - \frac{1}{2 m c ^{2}} [E_{n}^{2} - 2 E_{n} ⟨ V ⟩ + ⟨ V^{2} ⟩] = - \frac{1}{2 m c ^{2}} [E_{n}^{2} - 4 E_{n}^{2} + \frac{m ^{2} c ^{4} ( Z α ) ^{4}}{n ^{3} ( l + \frac{1}{2} )}] = - \frac{ε _{4}}{2 n ^{4}} (\frac{n}{l + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4})$
（ $⟨ V ⟩ = 2 E_{n}$ ）。スピン軌道項は $\frac{1}{r} \frac{d V}{d r} = \frac{Z α ℏ c}{r ^{3}}$ 、 $⟨ L \cdot S ⟩ = \frac{ℏ ^{2}}{2} X$ 、 $X = j (j + 1) - l (l + 1) - \frac{3}{4}$ より $⟨ H_{SO} ⟩ = \frac{ε _{4}}{4 n ^{3}} \frac{X}{l ( l + \frac{1}{2} ) ( l + 1 )}$ で、 $j = l + \frac{1}{2}$ なら $X = l$ 、 $j = l - \frac{1}{2}$ なら $X = - (l + 1)$ です。 $l \geq 1$ で足すと
$j = l + \frac{1}{2} : - \frac{ε _{4}}{2 n ^{3}} [\frac{1}{l + \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 ( l + \frac{1}{2} ) ( l + 1 )}] + \frac{3 ε _{4}}{8 n ^{4}} = - \frac{ε _{4}}{2 n ^{3}} \cdot \frac{1}{l + 1} + \frac{3 ε _{4}}{8 n ^{4}},$
$j = l - \frac{1}{2} : - \frac{ε _{4}}{2 n ^{3}} [\frac{1}{l + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 l ( l + \frac{1}{2} )}] + \frac{3 ε _{4}}{8 n ^{4}} = - \frac{ε _{4}}{2 n ^{3}} \cdot \frac{1}{l} + \frac{3 ε _{4}}{8 n ^{4}} .$
どちらも $\frac{1}{l + 1}$ 、 $\frac{1}{l}$ がちょうど $\frac{1}{j + \frac{1}{2}}$ なので、 $- \frac{ε _{4}}{2 n ^{4}} (\frac{n}{j + 1/2} - \frac{3}{4})$ と $j$ だけの式になります。 $l \geq 1$ では $ψ (0) = 0$ なのでダーウィン項は 0 です。 $l = 0$ では $L \cdot S = 0$ でスピン軌道項は 0、代わりに $\nabla^{2} \frac{1}{r} = - 4 π δ^{3} (r)$ （ $δ^{3}$ は 3 次元のディラックのデルタ関数で、 $\int f δ^{3} d^{3} r = f (0)$ ）とダーウィン項が効き、 $∣ ψ_{n 00} (0) ∣^{2} = \frac{1}{π n ^{3} a ^{3}}$ から $⟨ H_{D} ⟩ = \frac{ε _{4}}{2 n ^{3}}$ 。これを $⟨ H_{kin} ⟩ = - \frac{ε _{4}}{2 n ^{4}} (2 n - \frac{3}{4})$ に足すと $- \frac{ε _{4}}{2 n ^{4}} (n - \frac{3}{4})$ となり、 $j = \frac{1}{2}$ の同じ式に一致します。

手順

$ψ = (φ χ)$ 、 $E = m c^{2} + ε$ とおき、2 本の式 $(ε - V) φ = c σ \cdot π χ$ 、 $(ε - V + 2 m c^{2}) χ = c σ \cdot π φ$ を書く
最低次では $χ \approx \frac{σ \cdot π}{2 m c} φ$ を代入し、 $(σ \cdot π)^{2} = π^{2} - q ℏ σ \cdot B$ からパウリ方程式 $H_{P} = \frac{π ^{2}}{2 m} + V - \frac{q}{m} S \cdot B$ を得て $g = 2$ を読む
$(v / c)^{2}$ の補正が必要なら、規格化し直した $Φ = (1 + \frac{p ^{2}}{8 m ^{2} c ^{2}}) φ$ について得られる 3 つの補正項 $H_{kin} = - \frac{p ^{4}}{8 m ^{3} c ^{2}}$ 、 $H_{SO} = \frac{1}{2 m ^{2} c ^{2}} \frac{1}{r} \frac{d V}{d r} L \cdot S$ 、 $H_{D} = \frac{ℏ ^{2}}{8 m ^{2} c ^{2}} \nabla^{2} V$ を、与えられた $V$ について具体的に書く
水素型原子 $V = - \frac{Z α ℏ c}{r}$ では、 $a = \frac{ℏ}{Z α m c}$ として既知の期待値 $⟨ \frac{1}{r} ⟩ = \frac{1}{n ^{2} a}$ 、 $⟨ \frac{1}{r ^{2}} ⟩ = \frac{1}{n ^{3} ( l + \frac{1}{2} ) a ^{2}}$ 、 $⟨ \frac{1}{r ^{3}} ⟩ = \frac{1}{n ^{3} l ( l + \frac{1}{2} ) ( l + 1 ) a ^{3}}$ （ $l \geq 1$ ）、 $∣ ψ_{n 00} (0) ∣^{2} = \frac{1}{π n ^{3} a ^{3}}$ を使う
各項の期待値を計算する。 $⟨ H_{kin} ⟩$ は $p^{2} = 2 m (H_{0} - V)$ と書き直し、 $⟨ H_{SO} ⟩$ は $L \cdot S = \frac{ℏ ^{2}}{2} [j (j + 1) - l (l + 1) - \frac{3}{4}]$ 、 $⟨ H_{D} ⟩$ は $\nabla^{2} \frac{1}{r} = - 4 π δ^{3} (r)$ を使う
足し合わせて $E_{nj}^{(1)} = - \frac{m c ^{2} ( Z α ) ^{4}}{2 n ^{4}} (\frac{n}{j + 1/2} - \frac{3}{4})$ と一致するか確かめる

例題

水素型原子（原子核の電荷 $Z e$ 、無限に重い原子核、電子の質量 $m$ ）の電子が感じるポテンシャルを $V (r) = - \frac{Z α ℏ c}{r}$ （ $α = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} ℏ c}$ ）とする。ディラック方程式の非相対論的極限で現れるダーウィン項 $H_{D} = \frac{ℏ ^{2}}{8 m ^{2} c ^{2}} \nabla^{2} V$ の、基底状態 $1 s$ （波動関数 $ψ_{100} = \frac{1}{π a ^{3}} e^{- r / a}$ 、 $a = \frac{ℏ}{Z α m c}$ ）での期待値 $⟨ H_{D} ⟩$ を $m, c, Z, α$ で表せ。

例題の解答

手順 3: ダーウィン項を具体的に書きます。 $\nabla^{2} \frac{1}{r} = - 4 π δ^{3} (r)$ より
$\nabla^{2} V = - Z α ℏ c \nabla^{2} \frac{1}{r} = 4 π Z α ℏ c δ^{3} (r), H_{D} = \frac{π Z α ℏ ^{3}}{2 m ^{2} c} δ^{3} (r) .$

手順 4: 原点での確率密度は $∣ ψ_{100} (0) ∣^{2} = \frac{1}{π a ^{3}}$ です。

手順 5: デルタ関数の性質から $⟨ δ^{3} (r)⟩ = \int ∣ ψ_{100} ∣^{2} δ^{3} (r) d^{3} r = ∣ ψ_{100} (0) ∣^{2}$ なので
$⟨ H_{D} ⟩ = \frac{π Z α ℏ ^{3}}{2 m ^{2} c} \cdot \frac{1}{π a ^{3}} = \frac{Z α ℏ ^{3}}{2 m ^{2} c} \cdot \frac{( Z α m c ) ^{3}}{ℏ ^{3}} = \frac{m c ^{2} ( Z α ) ^{4}}{2} .$

確認（手順 6）: $1 s$ では $l = 0$ でスピン軌道項は 0、運動エネルギー補正は $- \frac{m c ^{2} ( Z α ) ^{4}}{2} (\frac{1}{1/2} - \frac{3}{4}) = - \frac{5}{8} m c^{2} (Z α)^{4}$ なので、合計は $(\frac{1}{2} - \frac{5}{8}) m c^{2} (Z α)^{4} = - \frac{1}{8} m c^{2} (Z α)^{4}$ 。微細構造の式で $n = 1$ , $j = \frac{1}{2}$ とした $- \frac{m c ^{2} ( Z α ) ^{4}}{2} (1 - \frac{3}{4}) = - \frac{1}{8} m c^{2} (Z α)^{4}$ と一致します。

答え: $\frac{m c ^{2} ( Z α ) ^{4}}{2}$

よくある誤り

次の次数で大きい成分 $φ$ をそのまま 2 成分の波動関数として扱い、規格化のずれを無視する誤り。そうすると $ε (1 + \frac{p ^{2}}{4 m ^{2} c ^{2}}) φ = \dots$ のように固有値 $ε$ が演算子と混ざった方程式になり、 $\int ∣ φ ∣^{2}$ も 1 にならない。正しくは $Φ = (1 + \frac{p ^{2}}{8 m ^{2} c ^{2}}) φ$ に選び直してから方程式を書き直し、 $- \frac{p ^{4}}{8 m ^{3} c ^{2}}$ 、 $\frac{1}{2 m ^{2} c ^{2}} \frac{1}{r} \frac{d V}{d r} L \cdot S$ 、 $\frac{ℏ ^{2}}{8 m ^{2} c ^{2}} \nabla^{2} V$ を得る。
スピン軌道項の係数を誤る誤り。電子の静止系で見た磁場だけから素朴に求めると $\frac{1}{m ^{2} c ^{2}} \frac{1}{r} \frac{d V}{d r} L \cdot S$ になるが、これはトーマス歳差を無視しており、トーマス因子 $\frac{1}{2}$ を掛けた $\frac{1}{2 m ^{2} c ^{2}}$ が正しい。ディラック方程式からはこの $\frac{1}{2 m ^{2} c ^{2}}$ が自動で出るので、そこにさらに $\frac{1}{2}$ を掛けて $\frac{1}{4 m ^{2} c ^{2}}$ とするのは二重に数える誤り。
$l = 0$ の状態にもスピン軌道項を $⟨ \frac{1}{r ^{3}} ⟩$ の公式で計算したり、ダーウィン項を $l \geq 1$ の状態にも入れたりする誤り。正しくは $l = 0$ では $L \cdot S = 0$ でスピン軌道項は 0、ダーウィン項は $\propto δ^{3} (r)$ なので $ψ (0) \neq = 0$ となる $l = 0$ の状態だけに $\frac{m c ^{2} ( Z α ) ^{4}}{2 n ^{3}}$ を与える。
$\nabla^{2} \frac{1}{r} = + 4 π δ^{3} (r)$ と符号を誤り、引力のクーロン場でダーウィン項を負にしてしまう誤り。正しくは $\nabla^{2} \frac{1}{r} = - 4 π δ^{3} (r)$ で、 $V = - \frac{Z α ℏ c}{r}$ に対して $\nabla^{2} V = 4 π Z α ℏ c δ^{3} (r)$ 、ダーウィン項はエネルギーを上げる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
ディラック方程式の非相対論的極限を $(v / c)^{2}$ の次数までとると、水素型原子（原子番号 $Z$ 、電子の質量 $m$ 、微細構造定数 $α$ ）のエネルギー準位は、相対論的運動エネルギー補正・スピン軌道相互作用・ダーウィン項をすべて合わせて、ボーア準位からのずれ
$E_{nj}^{(1)} = - \frac{m c ^{2} ( Z α ) ^{4}}{2 n ^{4}} (\frac{n}{j + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4})$
をもつ（ $n$ は主量子数、 $j$ は全角運動量量子数）。
水素原子（ $Z = 1$ ）の $n = 2$ の準位で、 $2 P_{3/2}$ （ $j = \frac{3}{2}$ ）と $2 P_{1/2}$ （ $j = \frac{1}{2}$ ）のエネルギー差 $E (2 P_{3/2}) - E (2 P_{1/2})$ は $m c^{2} α^{4}$ の何倍か。分数で答えよ。