量子力学（角運動量・近似法）の問題

電子の軌道角運動量 $\mathbf{L}$（大きさ $l=2$）とスピン $\mathbf{S}$（$s=\frac{1}{2}$）を合成し、全角運動量を $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ とする。${\mathbf{L}}^2,L_z,{\mathbf{S}}^2,S_z$ の同時固有状態を $|m_l,m_s⟩$（$m_l=-2,\dots ,2$, $m_s=\pm \frac{1}{2}$）、${\mathbf{L}}^2,{\mathbf{S}}^2,{\mathbf{J}}^2,J_z$ の同時固有状態を $|j,m_j⟩$ と書く。位相はコンドン・ショートレーの規約に従い、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たす（$L_{\pm }$, $S_{\pm }$ も同様）。

電子が状態 $|j,m_j⟩=|\frac{3}{2},\frac{1}{2}⟩$ にあるとき、軌道角運動量の $z$ 成分の期待値 $⟨L_z⟩$ は $\hslash$ の何倍か。

角運動量の大きさが $j_1=\frac{3}{2}$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_1$ と、$j_2=1$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、全角運動量を $\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ とする。${\mathbf{J}}_1^2,J_{1z}$ の同時固有状態を $|j_1,m_1⟩$、${\mathbf{J}}_2^2,J_{2z}$ の同時固有状態を $|j_2,m_2⟩$ とし、積状態を $|m_1,m_2⟩\equiv |\frac{3}{2},m_1⟩|1,m_2⟩$ と書く。昇降演算子は
$$J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$$
にしたがって作用するものとし、位相はコンドン・ショートレーの規約に従う。

この系が積状態
$$|\psi ⟩=|m_1=\frac{1}{2},m_2=1⟩$$
にあるとき、${\mathbf{J}}^2$ を測定する。測定値が $\frac{35}{4}{\hslash }^2$（$J=\frac{5}{2}$）、$\frac{15}{4}{\hslash }^2$（$J=\frac{3}{2}$）、$\frac{3}{4}{\hslash }^2$（$J=\frac{1}{2}$）となる確率を、この順に組で求めよ。

角運動量の量子数がともに $1$ である 2 つの角運動量 ${\mathbf{J}}_1$, ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、$\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ を考える。$J_{1z}$, $J_{2z}$ の固有値がそれぞれ $m_1\hslash$, $m_2\hslash$ である規格化された積状態を $|m_1,m_2⟩$ と書く（$m_1,m_2\in \{1,0,-1\}$）。

系が状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1,-1⟩+|0,0⟩)$$
にあるとき、${\mathbf{J}}^2$ を測定して固有値 $6{\hslash }^2$（合成角運動量の量子数 $J=2$）が得られる確率を求めよ。ただし、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たし、各状態の位相はこの式（係数が正の実数）に合わせて選ぶものとする。

量子数 $j_1=\frac{3}{2}$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_1$ と、量子数 $j_2=\frac{1}{2}$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、全角運動量を $\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ とする。${\mathbf{J}}_1$ と ${\mathbf{J}}_2$ の成分どうしは互いに交換する。$J_{1z}$ の固有値 $m_1\hslash$ と $J_{2z}$ の固有値 $m_2\hslash$ をもつ規格化された積状態を $|m_1,m_2⟩$ と書き、${\mathbf{J}}^2$ の固有値 $J(J+1){\hslash }^2$、$J_z$ の固有値 $M\hslash$ をもつ規格化された合成状態を $|J,M⟩$ と書く。昇降演算子 $J_{\pm }=J_x\pm i{J}_y$ は、角運動量の量子数 $j$ の固有状態に対して
$$J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$$
とはたらき、$J_{\pm }=J_{1\pm }+J_{2\pm }$ である。位相はコンドン・ショートレーの規約に従う。

合成状態 $|J=1,M=1⟩$ における $J_{1z}$ の期待値を $⟨J_{1z}⟩=c\hslash$ と表すとき、定数 $c$ を分数で求めよ。

電子の軌道角運動量 $\mathbf{L}$（量子数 $l=1$）とスピン角運動量 $\mathbf{S}$（量子数 $s=\frac{1}{2}$）を合成して、全角運動量 $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ を考える。$L_z$ の固有値 $m_l\hslash$ と $S_z$ の固有値 $m_s\hslash$ をもつ規格化された積状態を $|m_l,m_s⟩$ と書く。

電子が状態
$$|\psi ⟩=|m_l=1,m_s=-\frac{1}{2}⟩$$
にあるとき、${\mathbf{J}}^2$ を測定して固有値 $\frac{15}{4}{\hslash }^2$（$j=\frac{3}{2}$）が得られる確率を求めよ。ただし、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たし、各角運動量の状態の位相はこの式（係数が正の実数）に合わせて選ぶものとする。