量子力学（角運動量・近似法）の問題

質量 $m$ の粒子が 1 次元の V 字型ポテンシャル
$$V(x)=F|x|(F>0\text{は定数})$$
の中を運動している。エネルギー準位を WKB 近似の量子化条件
$$\oint pdx=2{\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m\left(E-V(x)\right)}dx=\left(n+\frac{1}{2}\right)h(n=0,1,2,\dots )$$
で求める。ここで $x_1$, $x_2$（$x_1<x_2$）は $V(x)=E$ となる古典的な折り返し点、$h=2\pi \hslash$ はプランク定数である。

この量子化条件から得られる $n=0$ の準位を $E_0$、$n=1$ の準位を $E_1$ とするとき、比 $\frac{E_1}{E_0}$ を求めよ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元のデルタ関数型の引力ポテンシャル
$$V(x)=-\alpha \delta (x)(\alpha >0)$$
の中にある。ハミルトニアンは $H=\frac{p^2}{2m}+V(x)$ である。

基底状態のエネルギーを、正のパラメータ $b$ を含む規格化された試行関数
$${\psi }_b(x)={\left(\frac{2b}{\pi }\right)}^{1/4}{e}^{-b{x}^2}$$
を使った変分法で見積もる。$⟨H⟩=⟨{\psi }_b|H|{\psi }_b⟩$ を $b>0$ について最小にした値を、$m,\alpha ,\hslash$ を用いて表せ。

水素原子の電子を考える。原子核は静止しているとみなし、電子のスピンと相対論的効果は無視する。ボーア半径を $a$ とする。非摂動ハミルトニアン $H_0$ の $n=2$ の動径波動関数は、規格化された形で
$$R_{20}(r)=\frac{1}{\sqrt{2}}{a}^{-3/2}\left(1-\frac{r}{2a}\right)e^{-r/(2a)},R_{21}(r)=\frac{1}{\sqrt{24}}{a}^{-3/2}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}$$
で与えられる。固有関数は ${\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$（$Y_{lm}$ は規格化された球面調和関数）である。

この原子に、球対称な摂動
$$V^{\prime }(r)=\frac{\beta }{r^2}(\beta >0\text{は定数})$$
が加わったとする。$\beta$ は十分小さく、$\beta$ の 1 次までの摂動論を用いてよい。このとき、$H_0$ のもとで縮退していた $n=2$ の準位（$2s$ と $2p$ の計 4 状態）は分裂する。$2s$ 準位のエネルギーから $2p$ 準位のエネルギーを引いた差 $E_{2s}-E_{2p}$ を、$\beta$ の 1 次までの精度で $\beta$ と $a$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子
$$H_0=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$
のエネルギー固有値は $E_n^{(0)}=\hslash \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)$（$n=0,1,2,\dots$）、規格化された固有状態は $|n⟩$ である。生成・消滅演算子 $a^{†}$, $a$ を用いると
$$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†}),a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$
が成り立つ。

この系に摂動 $H^{\prime }=\kappa x$（$\kappa$ は実定数）を加える。第 1 励起状態 $|1⟩$ のエネルギーの、$\kappa$ についての 2 次の摂動によるずれ $E_1^{(2)}$ を、非縮退摂動論を用いて $m$, $\omega$, $\kappa$ で表せ。ただし $m>0$, $\omega >0$ とする。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子 $H_0$ のエネルギー固有状態を $|n⟩$（$n=0,1,2,\dots$）、固有値を $E_n^{(0)}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$ とする。位置演算子は消滅・生成演算子 $\hat{a}$, ${\hat{a}}^{†}$ を用いて
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right),\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,{\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$
と表される。

この振動子に一様な力 $F$（定数）を加え、摂動 $H^{\prime }=-F\hat{x}$ が加わったとする。基底状態 $|0⟩$ のエネルギーの 2 次の摂動によるずれ
$$E_0^{(2)}=\sum _{k\ne 0}\frac{|⟨k|H^{\prime }|0⟩{|}^2}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}$$
を、$F$, $m$, $\omega$ を用いて表せ。