WKB 近似

量子化条件 $\oint p d x = (n + \frac{1}{2}) h$ （ $p = 2 m (E - V)$ ）からエネルギー準位を、 $e^{- \frac{2}{ℏ} \int 2 m (V - E) d x}$ からトンネル確率を見積もれる

前提

時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））

この技能までの道筋（98 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））

説明

WKB 近似は、ポテンシャル $V (x)$ がド・ブロイ波長に比べてゆるやかに変わるときに、シュレーディンガー方程式を解かずに波動関数のふるまいを見積もる方法です。この技能では、古典的に動ける範囲で運動量 $p (x) = 2 m (E - V (x))$ を 1 往復積分した量子化条件 $\oint p d x = (n + \frac{1}{2}) h$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）からエネルギー準位を求め、古典的に入れない障壁の中で $2 m (V - E)$ を積分した $T \approx e^{- \frac{2}{ℏ} \int 2 m (V - E) d x}$ からトンネル確率を見積もれるようになります。非調和なポテンシャルの準位、α 崩壊、電界放出などの見積もりで使います。

なぜそうしてよいのか

ポテンシャルが一定なら、 $E > V$ の領域の解は $e^{\pm ik x}$ （ $k = 2 m (E - V) /ℏ$ ）、 $E < V$ の領域の解は $e^{\pm κ x}$ （ $κ = 2 m (V - E) /ℏ$ ）でした。 $V (x)$ がゆっくり変わるときは、各場所でその場所の波数を使えばよいはずで、位相 $k x$ を「波数を足し合わせたもの」 $\frac{1}{ℏ} \int^{x} p (x^{'}) d x^{'}$ に置き換えます。実際、 $ψ = A (x) e^{i S (x) /ℏ}$ を $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} ψ^{''} + V ψ = E ψ$ に代入すると、 $ℏ$ を含まない項から $S^{'2} = 2 m (E - V)$ 、つまり $S = \int p d x$ が、 $ℏ$ の 1 乗の項から $2 A^{'} S^{'} + A S^{''} = 0$ 、つまり $A \propto 1/ p$ が出ます（ $A^{''}$ の項は変化がゆるやかなので無視します）。こうして $ψ \approx \frac{C}{p} e^{\pm \frac{i}{ℏ} \int p d x}$ が得られ、 $E < V$ の領域では同様に $ψ \approx \frac{C}{∣ p ∣} e^{\pm \frac{1}{ℏ} \int 2 m (V - E) d x}$ となります。

束縛状態では、2 つの折り返し点 $a < b$ （ $V (a) = V (b) = E$ ）の間で波が定在波になる必要があります。壁が無限に高い井戸なら両端で $ψ = 0$ なので位相差は $π$ の整数倍ですが、なめらかな折り返し点では波が少し外にしみ出すため、各端で位相が $\frac{π}{4}$ ずつ余分につき（これは折り返し点付近を正確に解いて接続すると得られます）、条件は $\frac{1}{ℏ} \int_{a}^{b} p d x = (n + \frac{1}{2}) π$ になります。行きと帰りで 2 倍すると $\oint p d x = 2 \int_{a}^{b} p d x = (n + \frac{1}{2}) 2 π ℏ = (n + \frac{1}{2}) h$ です。

トンネルでは、障壁の中で波動関数がほぼ $e^{- \int κ d x}$ の割合で減衰します。確率は振幅の 2 乗なので、障壁の入口 $x_{1}$ から出口 $x_{2}$ までの透過確率は $T \approx exp (- \frac{2}{ℏ} \int_{x_{1}}^{x_{2}} 2 m (V - E) d x)$ と見積もれます（指数が大きい、つまり $T ≪ 1$ のときによい近似です）。

手順

エネルギー $E$ を決め、 $V (x) = E$ を解いて折り返し点（束縛状態なら $a < b$ 、トンネルなら障壁の入口 $x_{1}$ と出口 $x_{2}$ ）を求める
束縛状態なら、 $a \leq x \leq b$ で $p (x) = 2 m (E - V (x))$ を書き、 $\oint p d x = 2 \int_{a}^{b} p d x$ を $E$ の式として計算する
量子化条件 $2 \int_{a}^{b} p d x = (n + \frac{1}{2}) h = (n + \frac{1}{2}) 2 π ℏ$ を $E$ について解いて $E_{n}$ を得る
トンネルなら、 $x_{1} \leq x \leq x_{2}$ で $\int_{x_{1}}^{x_{2}} 2 m (V (x) - E) d x$ を計算する
透過確率を $T \approx exp (- \frac{2}{ℏ} \int_{x_{1}}^{x_{2}} 2 m (V - E) d x)$ で見積もる

例題

質量 $m$ の粒子が 1 次元のポテンシャル $V (x) = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$ （ $ω > 0$ ）の中にある。WKB 近似の量子化条件 $\oint p d x = (n + \frac{1}{2}) h$ （ $p = 2 m (E - V)$ , $h = 2 π ℏ$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ ）を用いて、エネルギー準位 $E_{n}$ を $n, ℏ, ω$ で求めよ。

例題の解答

手順 1（折り返し点）: $\frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} = E$ より $x = \pm a$ , $a = \frac{2 E}{m ω ^{2}}$ 。

手順 2（積分）: $- a \leq x \leq a$ で $p = 2 m E - m^{2} ω^{2} x^{2} = mω a^{2} - x^{2}$ 。 $x = a sin θ$ と置換すると $\int_{- a}^{a} a^{2} - x^{2} d x = a^{2} \int_{- π /2}^{π /2} cos^{2} θ d θ = \frac{π a ^{2}}{2}$ なので
$\oint p d x = 2 \int_{- a}^{a} p d x = 2 mω \cdot \frac{π a ^{2}}{2} = π mω \cdot \frac{2 E}{m ω ^{2}} = \frac{2 π E}{ω} .$

手順 3（量子化条件）: $\frac{2 π E}{ω} = (n + \frac{1}{2}) 2 π ℏ$ より
$E_{n} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω .$
（調和振動子では、この WKB の結果が厳密な固有値と一致する。）

答え: $(n + \frac{1}{2}) ℏ ω$

よくある誤り

$\oint p d x$ を片道の積分 $\int_{a}^{b} p d x$ と同じにしてしまう誤り。 $\oint$ は 1 往復なので $\oint p d x = 2 \int_{a}^{b} p d x$ 。片道で $(n + \frac{1}{2}) h$ とおくと、調和振動子で $E_{n} = (2 n + 1) ℏ ω$ と 2 倍ずれる
$h$ と $ℏ$ を取り違える誤り。右辺は $(n + \frac{1}{2}) h = (n + \frac{1}{2}) 2 π ℏ$ 。 $(n + \frac{1}{2}) ℏ$ とすると $E_{n} = (n + \frac{1}{2}) \frac{ℏ ω}{2 π}$ となってしまう
トンネル確率の指数で 2 を落とす誤り。 $exp (- \frac{1}{ℏ} \int 2 m (V - E) d x)$ は振幅の減衰であり、確率はその 2 乗の $exp (- \frac{2}{ℏ} \int 2 m (V - E) d x)$ 。たとえば高さ $V_{0}$ 、幅 $L$ の一定の障壁では $T \approx e^{- 2 κ L}$ （ $κ = 2 m (V_{0} - E) /ℏ$ ）
積分範囲を折り返し点以外にとってしまう誤り。量子化条件の積分は $E > V$ となる範囲（ $V (a) = V (b) = E$ の間）だけ、トンネルの積分は $V > E$ となる範囲（障壁の入口から出口まで）だけでとる。範囲の外で $2 m (E - V)$ を積分すると根号の中が負になり意味をなさない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の粒子が 1 次元の V 字型ポテンシャル
$V (x) = F ∣ x ∣ (F > 0 は定数)$
の中を運動している。エネルギー準位を WKB 近似の量子化条件
$\oint p d x = 2 \int_{x_{1}}^{x_{2}} 2 m (E - V (x)) d x = (n + \frac{1}{2}) h (n = 0, 1, 2, \dots)$
で求める。ここで $x_{1}$ , $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）は $V (x) = E$ となる古典的な折り返し点、 $h = 2 π ℏ$ はプランク定数である。
この量子化条件から得られる $n = 0$ の準位を $E_{0}$ 、 $n = 1$ の準位を $E_{1}$ とするとき、比 $\frac{E _{1}}{E _{0}}$ を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の演習問題レベル）
質量 $m$ の粒子が、1 次元の放物線型のポテンシャル障壁
$V (x) = ⎩ ⎨ ⎧ V_{0} (1 - \frac{x ^{2}}{a ^{2}}) 0 (∣ x ∣ < a) (∣ x ∣ \geq a)$
に、左側からエネルギー $E$ （ $0 < E < V_{0}$ ）で入射する。ここで $V_{0} > 0$ , $a > 0$ は定数である。
WKB 近似によれば、透過率 $T$ は古典的転回点 $x_{1} < x_{2}$ （ $V (x) = E$ となる点）を用いて
$T \approx exp (- 2 \int_{x_{1}}^{x_{2}} κ (x) d x), κ (x) = \frac{2 m ( V ( x ) - E )}{ℏ}$
と表される（前因子は $1$ とする）。この近似式に従って $T$ を $m, a, V_{0}, E, ℏ$ を用いて表せ。