解析力学の問題

質量 $m$ の質点が $xy$ 平面内を運動している。ポテンシャルは原点からの距離 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ だけで決まる関数 $V(r)$ であり、ラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-V\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$$
である。このラグランジアンは原点のまわりの回転 $x\to x-\epsilon y$, $y\to y+\epsilon x$（$\epsilon$ は微小な実数）で不変である。

時刻 $t=0$ に質点は点 $(a,0)$ にあり、速度は $(0,v_0)$ であった（$a>0$, $v_0>0$）。その後、質点が $y$ 軸上の点 $(0,b)$（$b>0$）を通過した瞬間、速度は $x$ 軸の負の向きを向いていた。ネーターの定理からこの回転対称性に対応する保存量を求め、それを用いて、この瞬間の質点の速さを $a$, $b$, $v_0$ で表せ。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の粒子のラグランジアンが、正の定数 $k$ を用いて
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-\frac{k}{2}{\left(2x-y\right)}^2$$
で与えられている。時刻 $t=0$ に粒子は原点にあり、速度は $(\dot{x},\dot{y})=(v_0,0)$（$v_0>0$ は定数）であった。

このラグランジアンの連続的な対称性に対応する保存量（ネーターの定理）とエネルギー保存則を用いて、$t>0$ で粒子が初めて再び直線 $y=2x$ 上に来た瞬間の速度成分 $\dot{x},\dot{y}$ を求め、$(\dot{x},\dot{y})$ の組で答えよ。

水平面内で、細くまっすぐな棒が一端 O を通る鉛直軸のまわりに一定の角速度 $\omega$（$\omega >0$）で回転している。この棒に質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は棒に沿ってなめらかに（摩擦なく）動く。O から玉までの距離を $r$ とすると、玉のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+r^2{\omega }^2\right)$$
である（重力は鉛直方向にはたらき、玉の運動には寄与しない）。$r$ に共役な一般化運動量を $p$ とするとき、ルジャンドル変換によってハミルトニアン $H$ を $r$, $p$, $m$, $\omega$ で表せ。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$、電荷 $q$ の荷電粒子が、$z$ 軸正の向きの一様な磁束密度 $B$ の磁場と、原点からの距離の 2 乗に比例するポテンシャルの中にある。ベクトルポテンシャルを $\mathbf{A}=(-By,0,0)$ にとると、ラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-qBy\dot{x}-\frac{k}{2}\left(x^2+y^2\right)$$
で与えられる。ここで $m,q,B,k$ はすべて正の定数である。このラグランジアンは原点のまわりの回転に対して厳密には不変ではないが、時間の全微分の差を除いて不変である。

時刻 $t=0$ に粒子は点 $(a,0)$ にあり、速度は $(0,v_0)$ であった（$a>0,v_0>0$）。原点のまわりの回転に対応する保存量をネーターの定理により求め、エネルギー保存則と合わせて用いることで、その後の運動における原点から粒子までの距離の最大値を、$m,q,B,k,a,v_0$ を用いて求めよ。ただし、定数は $k{a}^2<m{v}_0^2+qBa{v}_0$ を満たすものとする。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の小物体が、面上の固定点 O にとりつけたばね定数 $k$、自然長 $l$ のばねの他端につながれて運動している。O を原点とする平面極座標 $(r,\phi )$ を一般化座標にとると、ラグランジアンは
$$L=\frac{1}{2}m\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2\right)-\frac{1}{2}k(r-l{)}^2$$
である。時刻 $t=0$ に $r=r_0$, $\dot{\phi }={\omega }_0$ であった。その後、$r=2r_0$ となった瞬間の角速度 $\dot{\phi }$ を ${\omega }_0$ を用いて表せ。