解析力学の問題

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の粒子のラグランジアンが、正の定数 $k$ を用いて
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-\frac{k}{2}{\left(2x-y\right)}^2$$
で与えられている。時刻 $t=0$ に粒子は原点にあり、速度は $(\dot{x},\dot{y})=(v_0,0)$（$v_0>0$ は定数）であった。

このラグランジアンの連続的な対称性に対応する保存量（ネーターの定理）とエネルギー保存則を用いて、$t>0$ で粒子が初めて再び直線 $y=2x$ 上に来た瞬間の速度成分 $\dot{x},\dot{y}$ を求め、$(\dot{x},\dot{y})$ の組で答えよ。

質量 $m$、電荷 $q$（$q>0$）の荷電粒子が、$z$ 軸の正の向きの一様な磁場（磁束密度の大きさ $B>0$）の中で $xy$ 平面内を運動する。電場はなく（$\varphi =0$）、ベクトルポテンシャルを $\mathbf{A}=(0,Bx,0)$ にとる。粒子のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)+q\left(\dot{x}{A}_x+\dot{y}{A}_y\right)$$
である。時刻 $t=0$ に粒子は原点にあり、速度は $(\dot{x},\dot{y})=(0,v_0)$（$v_0>0$）であった。$y$ に共役な正準運動量 $p_y$ が保存することと、粒子の速さが一定であることを用いて、その後の運動で粒子の $x$ 座標がとる最大値を $m$, $q$, $B$, $v_0$ で表せ。重力は無視する。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ を用いて、3 次元空間内を運動する質量 $m$ の質点を考える。$z$ 軸は鉛直上向きで、$\phi$ は $z$ 軸の正の向きから見て反時計回りを正とする。質点のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2+{\dot{z}}^2\right)-V_0{\left(\frac{r}{a}\right)}^2\left[1-\cos \left(\phi -\frac{z}{b}\right)\right]$$
で与えられる。ここで $V_0,a,b$ は正の定数である。

時刻 $t=0$ に、質点は $r=r_0$ の位置にあり、$\dot{r}=0,\dot{\phi }={\omega }_0,\dot{z}=0$ であった（$r_0,{\omega }_0$ は正の定数）。その後のある時刻に、質点が $r=2r_0$ の位置を通過し、その瞬間の角速度は $\dot{\phi }=\frac{{\omega }_0}{8}$ であった。この瞬間の $\dot{z}$ を、$r_0,{\omega }_0,b$ を用いて求めよ。

水平面内で、細くまっすぐな棒が一端 O を通る鉛直軸のまわりに一定の角速度 $\omega$（$\omega >0$）で回転している。この棒に質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は棒に沿ってなめらかに（摩擦なく）動く。O から玉までの距離を $r$ とすると、玉のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+r^2{\omega }^2\right)$$
である（重力は鉛直方向にはたらき、玉の運動には寄与しない）。$r$ に共役な一般化運動量を $p$ とするとき、ルジャンドル変換によってハミルトニアン $H$ を $r$, $p$, $m$, $\omega$ で表せ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の小物体が、面上の固定点 O にとりつけたばね定数 $k$、自然長 $l$ のばねの他端につながれて運動している。O を原点とする平面極座標 $(r,\phi )$ を一般化座標にとると、ラグランジアンは
$$L=\frac{1}{2}m\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2\right)-\frac{1}{2}k(r-l{)}^2$$
である。時刻 $t=0$ に $r=r_0$, $\dot{\phi }={\omega }_0$ であった。その後、$r=2r_0$ となった瞬間の角速度 $\dot{\phi }$ を ${\omega }_0$ を用いて表せ。