解析力学の問題

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の粒子のラグランジアンが、正の定数 $k$ を用いて
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-\frac{k}{2}{\left(2x-y\right)}^2$$
で与えられている。時刻 $t=0$ に粒子は原点にあり、速度は $(\dot{x},\dot{y})=(v_0,0)$（$v_0>0$ は定数）であった。

このラグランジアンの連続的な対称性に対応する保存量（ネーターの定理）とエネルギー保存則を用いて、$t>0$ で粒子が初めて再び直線 $y=2x$ 上に来た瞬間の速度成分 $\dot{x},\dot{y}$ を求め、$(\dot{x},\dot{y})$ の組で答えよ。

質量 $m$ の質点が $xy$ 平面内を運動している。ポテンシャルは原点からの距離 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ だけで決まる関数 $V(r)$ であり、ラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-V\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$$
である。このラグランジアンは原点のまわりの回転 $x\to x-\epsilon y$, $y\to y+\epsilon x$（$\epsilon$ は微小な実数）で不変である。

時刻 $t=0$ に質点は点 $(a,0)$ にあり、速度は $(0,v_0)$ であった（$a>0$, $v_0>0$）。その後、質点が $y$ 軸上の点 $(0,b)$（$b>0$）を通過した瞬間、速度は $x$ 軸の負の向きを向いていた。ネーターの定理からこの回転対称性に対応する保存量を求め、それを用いて、この瞬間の質点の速さを $a$, $b$, $v_0$ で表せ。

水平面内で、鉛直な固定軸のまわりを一定の角速度 $\omega (>0)$ で回転する、まっすぐで細い針金がある。針金は固定軸と直交し、固定軸を通る。この針金に通した質量 $m$ の小さな玉が、針金に沿ってなめらかに動く。固定軸から玉までの針金に沿った位置を $r$（$r$ は実数で、負の値もとる）とすると、玉のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+{\omega }^2{r}^2\right)$$
で与えられる。

$r$ に共役な正準運動量を $p_r$、この系のハミルトニアンを $H(r,p_r)$ とする。ポアソン括弧 $\{r{p}_r,H\}$ を $m,\omega ,r,p_r$ を用いて表せ。ただし、ポアソン括弧は
$$\{A,B\}=\frac{\partial A}{\partial r}\frac{\partial B}{\partial p_r}-\frac{\partial A}{\partial p_r}\frac{\partial B}{\partial r}$$
で定義する。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の小物体が、面上の固定点 O にとりつけたばね定数 $k$、自然長 $l$ のばねの他端につながれて運動している。O を原点とする平面極座標 $(r,\phi )$ を一般化座標にとると、ラグランジアンは
$$L=\frac{1}{2}m\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2\right)-\frac{1}{2}k(r-l{)}^2$$
である。時刻 $t=0$ に $r=r_0$, $\dot{\phi }={\omega }_0$ であった。その後、$r=2r_0$ となった瞬間の角速度 $\dot{\phi }$ を ${\omega }_0$ を用いて表せ。

質量 $m$、電荷 $q$（$q>0$）の荷電粒子が、$z$ 軸の正の向きの一様な磁場（磁束密度の大きさ $B>0$）の中で $xy$ 平面内を運動する。電場はなく（$\varphi =0$）、ベクトルポテンシャルを $\mathbf{A}=(0,Bx,0)$ にとる。粒子のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)+q\left(\dot{x}{A}_x+\dot{y}{A}_y\right)$$
である。時刻 $t=0$ に粒子は原点にあり、速度は $(\dot{x},\dot{y})=(0,v_0)$（$v_0>0$）であった。$y$ に共役な正準運動量 $p_y$ が保存することと、粒子の速さが一定であることを用いて、その後の運動で粒子の $x$ 座標がとる最大値を $m$, $q$, $B$, $v_0$ で表せ。重力は無視する。