解析力学の問題

質量 $m$ の質点が $xy$ 平面内を運動している。ポテンシャルは原点からの距離 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ だけで決まる関数 $V(r)$ であり、ラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-V\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$$
である。このラグランジアンは原点のまわりの回転 $x\to x-\epsilon y$, $y\to y+\epsilon x$（$\epsilon$ は微小な実数）で不変である。

時刻 $t=0$ に質点は点 $(a,0)$ にあり、速度は $(0,v_0)$ であった（$a>0$, $v_0>0$）。その後、質点が $y$ 軸上の点 $(0,b)$（$b>0$）を通過した瞬間、速度は $x$ 軸の負の向きを向いていた。ネーターの定理からこの回転対称性に対応する保存量を求め、それを用いて、この瞬間の質点の速さを $a$, $b$, $v_0$ で表せ。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ を用いて、3 次元空間内を運動する質量 $m$ の質点を考える。$z$ 軸は鉛直上向きで、$\phi$ は $z$ 軸の正の向きから見て反時計回りを正とする。質点のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2+{\dot{z}}^2\right)-V_0{\left(\frac{r}{a}\right)}^2\left[1-\cos \left(\phi -\frac{z}{b}\right)\right]$$
で与えられる。ここで $V_0,a,b$ は正の定数である。

時刻 $t=0$ に、質点は $r=r_0$ の位置にあり、$\dot{r}=0,\dot{\phi }={\omega }_0,\dot{z}=0$ であった（$r_0,{\omega }_0$ は正の定数）。その後のある時刻に、質点が $r=2r_0$ の位置を通過し、その瞬間の角速度は $\dot{\phi }=\frac{{\omega }_0}{8}$ であった。この瞬間の $\dot{z}$ を、$r_0,{\omega }_0,b$ を用いて求めよ。

質量 $m$、電荷 $q$（$q>0$）の荷電粒子が、$z$ 軸の正の向きの一様な磁場（磁束密度の大きさ $B>0$）の中で $xy$ 平面内を運動する。電場はなく（$\varphi =0$）、ベクトルポテンシャルを $\mathbf{A}=(0,Bx,0)$ にとる。粒子のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)+q\left(\dot{x}{A}_x+\dot{y}{A}_y\right)$$
である。時刻 $t=0$ に粒子は原点にあり、速度は $(\dot{x},\dot{y})=(0,v_0)$（$v_0>0$）であった。$y$ に共役な正準運動量 $p_y$ が保存することと、粒子の速さが一定であることを用いて、その後の運動で粒子の $x$ 座標がとる最大値を $m$, $q$, $B$, $v_0$ で表せ。重力は無視する。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$、電荷 $q$ の荷電粒子が、$z$ 軸正の向きの一様な磁束密度 $B$ の磁場と、原点からの距離の 2 乗に比例するポテンシャルの中にある。ベクトルポテンシャルを $\mathbf{A}=(-By,0,0)$ にとると、ラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-qBy\dot{x}-\frac{k}{2}\left(x^2+y^2\right)$$
で与えられる。ここで $m,q,B,k$ はすべて正の定数である。このラグランジアンは原点のまわりの回転に対して厳密には不変ではないが、時間の全微分の差を除いて不変である。

時刻 $t=0$ に粒子は点 $(a,0)$ にあり、速度は $(0,v_0)$ であった（$a>0,v_0>0$）。原点のまわりの回転に対応する保存量をネーターの定理により求め、エネルギー保存則と合わせて用いることで、その後の運動における原点から粒子までの距離の最大値を、$m,q,B,k,a,v_0$ を用いて求めよ。ただし、定数は $k{a}^2<m{v}_0^2+qBa{v}_0$ を満たすものとする。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の質点のハミルトニアンが、正準座標 $(x,y)$ と共役な正準運動量 $(p_x,p_y)$ を用いて
$$H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\frac{k}{2}\left(x^2+4y^2\right)(m>0,k>0)$$
で与えられる（$x$ 方向と $y$ 方向の角振動数の比が $1:2$ の非等方調和振動子）。ポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\sum _{q=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p_q}-\frac{\partial f}{\partial p_q}\frac{\partial g}{\partial q}\right)$$
で定義する。$\beta ,\gamma$ を定数（$x,y,p_x,p_y,t$ によらない実数）として、相空間上の関数
$$G=x{p}_x{p}_y+\beta y{p}_x^2+\gamma x^{2}y$$
を考える。$G$ が任意の運動について保存量となる（すなわち $\{G,H\}=0$ が相空間のすべての点で成り立つ）ような $\beta ,\gamma$ を、$m,k$ を用いて表し、組 $(\beta ,\gamma )$ の形で答えよ。