確率流密度と透過率（トンネル効果）

確率流密度 $j = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} ψ^{'})$ を使い、ポテンシャルの段や矩形障壁での反射率・透過率（ $E < V_{0}$ のトンネル効果を含む）を求められる

前提

時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））

この技能までの道筋（98 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））

説明

粒子の流れがポテンシャルの段や障壁に当たったとき、どれだけの割合がはね返され（反射率 $R$ ）、どれだけが向こう側へ抜けるか（透過率 $T$ ）を求める技能です。そのために、単位時間あたりにある点を右向きに通過する確率を表す確率流密度 $j = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} ψ^{'})$ を使い、 $R = \frac{∣ j _{反射} ∣}{j _{入射}}$ , $T = \frac{j _{透過}}{j _{入射}}$ として計算します（ $Im z$ は複素数 $z$ の虚部）。エネルギーが障壁より低くても粒子が通り抜けるトンネル効果の確率も、同じ方法で求められます。走査型トンネル顕微鏡やα崩壊、トンネルダイオードなどを理解する基礎になります。

なぜそうしてよいのか

まず、 $j$ がなぜ「流れ」を表すのかを確かめます。 $ψ = A e^{ik x}$ （ $k > 0$ ）は運動量 $p = ℏ k$ 、速さ $v = \frac{ℏ k}{m}$ で右へ進む粒子の波で、確率密度は $∣ A ∣^{2}$ です。密度に速さを掛けたもの $∣ A ∣^{2} \frac{ℏ k}{m}$ が、単位時間にある点を通過する確率になるはずです。実際に計算すると $ψ^{*} ψ^{'} = A^{*} e^{- ik x} \cdot ik A e^{ik x} = ik ∣ A ∣^{2}$ なので $j = \frac{ℏ}{m} Im (ik ∣ A ∣^{2}) = \frac{ℏ k}{m} ∣ A ∣^{2}$ と一致します。左へ進む波 $B e^{- ik x}$ なら $j = - \frac{ℏ k}{m} ∣ B ∣^{2}$ と負になります。入射波と反射波が重なった $ψ = A e^{ik x} + B e^{- ik x}$ では、交差項 $ik (A^{*} B e^{- 2 ik x} - A B^{*} e^{2 ik x})$ は「ある複素数からその共役を引いたもの $\times ik$ 」で実数になるため虚部に寄与せず、 $j = \frac{ℏ k}{m} (∣ A ∣^{2} - ∣ B ∣^{2})$ と、入射の流れから反射の流れを引いたものになります。一方、 $ψ = C e^{- κ x}$ （実数の指数で減衰する解）だけなら $ψ^{*} ψ^{'} = - κ ∣ C ∣^{2} e^{- 2 κ x}$ は実数なので $j = 0$ です。

次に、時間に依存しないシュレーディンガー方程式の解では $j$ が $x$ によらない定数になることを示します。 $ψ^{''} = \frac{2 m ( V - E )}{ℏ ^{2}} ψ$ を使うと
$\frac{d}{d x} (ψ^{*} ψ^{'}) = ∣ ψ^{'} ∣^{2} + ψ^{*} ψ^{''} = ∣ ψ^{'} ∣^{2} + \frac{2 m ( V - E )}{ℏ ^{2}} ∣ ψ ∣^{2}$
で、これは実数なので $\frac{d j}{d x} = \frac{ℏ}{m} Im \frac{d}{d x} (ψ^{*} ψ^{'}) = 0$ です（境界で $ψ$ , $ψ^{'}$ が連続なので、境界をはさんでも $j$ は変わりません）。つまり、確率の流れはどこかで湧き出したり消えたりしません。左側で $j = j_{入射} - ∣ j_{反射} ∣$ 、右側で $j = j_{透過}$ なので $j_{入射} = ∣ j_{反射} ∣ + j_{透過}$ 、すなわち $R + T = 1$ が成り立ちます。

透過率を振幅の比 $∣ t ∣^{2}$ ではなく流れの比で定義するのは、段の左右で波の速さが違うからです。右側の波数が $k_{2}$ なら、透過波の流れは $\frac{ℏ k _{2}}{m} ∣ t ∣^{2}$ で、 $T = \frac{k _{2}}{k _{1}} ∣ t ∣^{2}$ となります。高さ $V_{0}$ ・幅 $L$ の矩形障壁に $E < V_{0}$ で入射する場合も、障壁の中を $C e^{κ x} + D e^{- κ x}$ （ $κ = 2 m (V_{0} - E) /ℏ$ ）として 2 つの境界で接続すれば、右側に有限の振幅 $t$ が残り、 $T = [1 + \frac{V _{0}^{2} sinh ^{2} κ L}{4 E ( V _{0} - E )}]^{- 1}$ （ $sinh u = \frac{e ^{u} - e ^{- u}}{2}$ ）が得られます。 $κ L ≫ 1$ では $T \approx \frac{16 E ( V _{0} - E )}{V _{0}^{2}} e^{- 2 κ L}$ と、厚さとともに指数関数的に小さくなります。

手順

各領域の波数を求める： $E > V$ なら $k = \frac{2 m ( E - V )}{ℏ}$ 、 $E < V$ なら $κ = \frac{2 m ( V - E )}{ℏ}$
左から入射する条件で波動関数を書く：左端の領域で $e^{i k_{1} x} + r e^{- i k_{1} x}$ 、右端の領域で $t e^{i k_{2} x}$ （右から来る波はなし。右端で $E < V$ なら $t e^{- κ x}$ ）、間の領域は一般解
各境界で $ψ$ と $ψ^{'}$ の連続条件を立て、 $r$ と $t$ を求める
確率流密度を計算する：入射 $j_{入射} = \frac{ℏ k _{1}}{m}$ 、反射 $∣ j_{反射} ∣ = \frac{ℏ k _{1}}{m} ∣ r ∣^{2}$ 、透過 $j_{透過} = \frac{ℏ k _{2}}{m} ∣ t ∣^{2}$ （右端が減衰解なら $0$ ）
$R = ∣ r ∣^{2}$ , $T = \frac{k _{2}}{k _{1}} ∣ t ∣^{2}$ を求め、 $R + T = 1$ で検算する

例題

質量 $m$ の粒子が、 $x < 0$ で $V = 0$ 、 $x > 0$ で $V = V_{0}$ （ $V_{0} > 0$ ）の段差ポテンシャルに左から入射する。粒子のエネルギーが $E = \frac{4}{3} V_{0}$ のとき、透過率 $T$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $x < 0$ ： $k_{1} = \frac{2 m E}{ℏ}$ 。 $x > 0$ ： $E - V_{0} = \frac{1}{3} V_{0} = \frac{1}{4} E$ なので $k_{2} = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ} = \frac{1}{2} k_{1}$ 。

【手順 2】 $x < 0$ で $ψ = e^{i k_{1} x} + r e^{- i k_{1} x}$ 、 $x > 0$ で $ψ = t e^{i k_{2} x}$ 。

【手順 3】 $x = 0$ での接続：
$ψ$ の連続： $1 + r = t$
$ψ^{'}$ の連続： $i k_{1} (1 - r) = i k_{2} t$ より $1 - r = \frac{k _{2}}{k _{1}} t$
2 式を足して $2 = t (1 + \frac{k _{2}}{k _{1}})$ 、よって $t = \frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}}$ 。 $k_{2} = \frac{k _{1}}{2}$ を代入して $t = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}$ 。また $r = t - 1 = \frac{1}{3}$ 。

【手順 4】 $j_{入射} = \frac{ℏ k _{1}}{m}$ 、 $j_{透過} = \frac{ℏ k _{2}}{m} ∣ t ∣^{2} = \frac{ℏ}{m} \cdot \frac{k _{1}}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{8}{9} \cdot \frac{ℏ k _{1}}{m}$ 。

【手順 5】 $T = \frac{j _{透過}}{j _{入射}} = \frac{8}{9}$ 。検算： $R = ∣ r ∣^{2} = \frac{1}{9}$ で $R + T = 1$ 。（ $∣ t ∣^{2} = \frac{16}{9} > 1$ だが、透過側は波が遅いので流れとしては $\frac{8}{9}$ になる。）

答え: $\frac{8}{9}$

よくある誤り

透過率を振幅の 2 乗 $T = ∣ t ∣^{2}$ としてしまう誤り。正しくは速さ（波数）の違いを含めて $T = \frac{k _{2}}{k _{1}} ∣ t ∣^{2}$ 。例題では $∣ t ∣^{2} = \frac{16}{9}$ で $1$ を超えてしまうが、 $T = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{8}{9}$
$E < V_{0}$ の段で透過側に $t e^{- κ x}$ があるので $T = ∣ t ∣^{2} \neq = 0$ としてしまう誤り。正しくは実数の指数で減衰する解では $ψ^{*} ψ^{'} = - κ ∣ t ∣^{2} e^{- 2 κ x}$ が実数で $j = 0$ 、よって $T = 0$ , $R = 1$ （全反射）。ただし障壁が有限の厚さなら向こう側に振動解が現れ、 $T > 0$ になる（トンネル効果）
$ψ = e^{ik x} + r e^{- ik x}$ の確率流密度を、 $∣ ψ ∣^{2}$ に速さを掛けて $\frac{ℏ k}{m} ∣1 + r e^{- 2 ik x} ∣^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $j = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} ψ^{'}) = \frac{ℏ k}{m} (1 - ∣ r ∣^{2})$ で、入射と反射の流れの差になり、 $x$ によらない
$E > V_{0}$ なら粒子は必ず透過する（ $T = 1$ ）としてしまう誤り。正しくは波の性質により段差でも一部が反射し、 $R = (\frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}})^{2} > 0$ （ $k_{1} \neq = k_{2}$ のとき）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の粒子が 1 次元のポテンシャル
$V (x) = {0 V_{0} (x < 0) (x \geq 0)$
に、 $x < 0$ の側から左から右へ入射する。 $V_{0} > 0$ とし、粒子のエネルギーを $E = \frac{4}{3} V_{0}$ とする（ $E > V_{0}$ ）。
波動関数を
$ψ (x) = {e^{ik x} + r e^{- ik x} t e^{i q x} (x < 0) (x \geq 0)$
とおく。ただし $k = \frac{2 m E}{ℏ}$ , $q = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ}$ であり、 $r$ , $t$ は定数である。 $x = 0$ で $ψ$ と $ψ^{'}$ が連続であるとする。
確率流密度 $j = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} ψ^{'})$ を用いて、透過率 $T = \frac{j _{透過}}{j _{入射}}$ を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

デルタ関数ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））