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量子力学（1 次元の問題）の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理量子力学（1 次元の問題）

質量 $m$ の粒子が、1 次元のデルタ関数型ポテンシャル障壁
$V (x) = α δ (x) (α > 0)$
に $x < 0$ の側から入射する。粒子のエネルギーは $E > 0$ で、定常状態として扱う。 $x < 0$ では入射波 $e^{ik x}$ と反射波 $r e^{- ik x}$ 、 $x > 0$ では透過波 $t e^{ik x}$ のみがあるとする（ $k = 2 m E /ℏ > 0$ 、 $ℏ$ は換算プランク定数）。波動関数は $x = 0$ で連続であり、その導関数はシュレーディンガー方程式を $x = 0$ の近傍で積分して得られる接続条件に従う。透過率 $T = ∣ t ∣^{2}$ がちょうど $\frac{4}{5}$ になるときの粒子のエネルギー $E$ を、 $m$ , $α$ , $ℏ$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

デルタ関数ポテンシャル（説明と入口の問題）
確率流密度と透過率（トンネル効果）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（100 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$x = 0$ での波動関数の連続性と、導関数の飛びの条件の 2 つから $r$ と $t$ を決め、 $∣ t ∣^{2}$ を $E$ の式で表しましょう。

ヒント 2

シュレーディンガー方程式を $x = 0$ の近傍で積分すると $ψ^{'} (+ 0) - ψ^{'} (- 0) = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} ψ (0)$ が得られます。

ヒント 3

連続性 $1 + r = t$ と導関数の条件から $t = \frac{1}{1 + im α / ( ℏ ^{2} k )}$ となり、 $T = \frac{1}{1 + m α ^{2} / ( 2 ℏ ^{2} E )}$ です。これを $\frac{4}{5}$ とおきます。

答えと解説

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\frac{2 m α ^{2}}{ℏ ^{2}}

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解説を読む

時間に依存しないシュレーディンガー方程式は
$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} ψ^{''} (x) + α δ (x) ψ (x) = E ψ (x)$
である。

接続条件　両辺を $- ε < x < ε$ で積分して $ε \to + 0$ とすると、 $ψ$ は有限で連続なので右辺の積分は $0$ になり、
$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} [ψ^{'} (+ 0) - ψ^{'} (- 0)] + α ψ (0) = 0$
すなわち
$ψ^{'} (+ 0) - ψ^{'} (- 0) = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} ψ (0)$
を得る。

係数の決定　 $ψ (x) = e^{ik x} + r e^{- ik x} (x < 0)$ , $ψ (x) = t e^{ik x} (x > 0)$ とする。

連続性から
$1 + r = t (1)$
導関数の接続条件から
$ik t - ik (1 - r) = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} t (2)$
$(1)$ より $1 - r = 2 - t$ なので、 $(2)$ は
$2 ik t - 2 ik = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} t$
となり、
$t = \frac{ik}{ik - \frac{m α}{ℏ ^{2}}} = \frac{1}{1 + \frac{im α}{ℏ ^{2} k}}$
である。したがって
$T = ∣ t ∣^{2} = \frac{1}{1 + \frac{m ^{2} α ^{2}}{ℏ ^{4} k ^{2}}}$
ここで $k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}}$ を代入すると
$\frac{m ^{2} α ^{2}}{ℏ ^{4} k ^{2}} = \frac{m ^{2} α ^{2}}{ℏ ^{4}} \cdot \frac{ℏ ^{2}}{2 m E} = \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2} E}$
より
$T = \frac{1}{1 + \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2} E}}$
となる。

$T = \frac{4}{5}$ となる条件
$1 + \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2} E} = \frac{5}{4} ⟹ \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2} E} = \frac{1}{4}$
よって
$E = \frac{4 m α ^{2}}{2 ℏ ^{2}} = \frac{2 m α ^{2}}{ℏ ^{2}}$
となる。

別解

連続条件 $1 + r = t$ 。導関数の跳び条件 $ψ^{'} (0^{+}) - ψ^{'} (0^{-}) = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} ψ (0)$ より $ik t - ik (1 - r) = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} t$ 。 $r = t - 1$ を代入すると $ik t - ik (2 - t) = 2 ik (t - 1)$ なので $2 ik (t - 1) = \frac{2 m α}{ℏ ^{2}} t$ 、 $t (ik - \frac{m α}{ℏ ^{2}}) = ik$ 。よって $t = \frac{1}{1 + \frac{im α}{ℏ ^{2} k}}$ 、 $T = ∣ t ∣^{2} = \frac{1}{1 + \frac{m ^{2} α ^{2}}{ℏ ^{4} k ^{2}}} = \frac{1}{1 + \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2} E}}$ （ $k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}}$ ）。 $T = \frac{4}{5}$ とすると $1 + \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2} E} = \frac{5}{4}$ 、 $\frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2} E} = \frac{1}{4}$ 、 $E = \frac{2 m α ^{2}}{ℏ ^{2}}$ 。検算: このとき $\frac{m α}{ℏ ^{2} k} = \frac{1}{2}$ で $T = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5}$ 。反射率 $∣ r ∣^{2} = ∣ t - 1 ∣^{2} = \frac{( 1/2 ) ^{2}}{1 + 1/4} = \frac{1}{5}$ で $T + R = 1$ 。

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