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量子力学（1 次元の問題）の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理量子力学（1 次元の問題）

質量 $m$ の粒子が 1 次元のポテンシャル
$V (x) = {0 V_{0} (x < 0) (x \geq 0)$
に、 $x < 0$ の側から左から右へ入射する。 $V_{0} > 0$ とし、粒子のエネルギーを $E = \frac{4}{3} V_{0}$ とする（ $E > V_{0}$ ）。

波動関数を
$ψ (x) = {e^{ik x} + r e^{- ik x} t e^{i q x} (x < 0) (x \geq 0)$
とおく。ただし $k = \frac{2 m E}{ℏ}$ , $q = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ}$ であり、 $r$ , $t$ は定数である。 $x = 0$ で $ψ$ と $ψ^{'}$ が連続であるとする。

確率流密度 $j = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} ψ^{'})$ を用いて、透過率 $T = \frac{j _{透過}}{j _{入射}}$ を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

この問題で使うもの

確率流密度と透過率（トンネル効果）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（99 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

確率流密度と透過率の技能を使う。まず接続条件から透過波の振幅 $t$ を求め、次に入射波と透過波の確率流密度を比べる。

ヒント 2

$E = \frac{4}{3} V_{0}$ から $q / k$ を求める。接続条件は $1 + r = t$ , $k (1 - r) = q t$ 。平面波 $A e^{ik x}$ の確率流密度は $\frac{ℏ k}{m} ∣ A ∣^{2}$ になる。

ヒント 3

$q = \frac{k}{2}$ で、 $t = \frac{2 k}{k + q} = \frac{4}{3}$ 。あとは $T = \frac{q}{k} ∣ t ∣^{2}$ を計算する。

答えと解説

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\frac{8}{9}

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解説を読む

波数の比

$E = \frac{4}{3} V_{0}$ より $E - V_{0} = \frac{1}{3} V_{0} = \frac{1}{4} E$ なので、
$\frac{q}{k} = \frac{E - V _{0}}{E} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}, q = \frac{k}{2}$

接続条件から $t$ を求める

$x = 0$ で $ψ$ が連続であることから
$1 + r = t (1)$
$ψ^{'}$ は $x < 0$ で $ik (e^{ik x} - r e^{- ik x})$ 、 $x \geq 0$ で $i q t e^{i q x}$ なので、 $x = 0$ で $ψ^{'}$ が連続であることから
$k (1 - r) = q t (2)$
$(1)$ を $k$ 倍して $(2)$ と足すと $2 k = (k + q) t$ となり、
$t = \frac{2 k}{k + q} = \frac{2 k}{k + \frac{k}{2}} = \frac{4}{3}$

確率流密度を計算する

平面波 $ψ = A e^{ik x}$ では $ψ^{*} ψ^{'} = A^{*} e^{- ik x} \cdot ik A e^{ik x} = ik ∣ A ∣^{2}$ なので
$j = \frac{ℏ}{m} Im (ik ∣ A ∣^{2}) = \frac{ℏ k}{m} ∣ A ∣^{2}$
となる。よって
- 入射波 $e^{ik x}$ （ $A = 1$ ）: $j_{入射} = \frac{ℏ k}{m}$
- 透過波 $t e^{i q x}$ （ $A = t$ 、波数 $q$ ）: $j_{透過} = \frac{ℏ q}{m} ∣ t ∣^{2}$

透過率

$T = \frac{j _{透過}}{j _{入射}} = \frac{q}{k} ∣ t ∣^{2} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4}{3})^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{8}{9}$

（確認: 反射係数は $r = t - 1 = \frac{1}{3}$ で、反射率 $R = ∣ r ∣^{2} = \frac{1}{9}$ 。 $R + T = 1$ となり、確率の保存と合っている。）

透過率は $∣ t ∣^{2} = \frac{16}{9}$ ではなく、波数の比 $\frac{q}{k}$ （速さの比）を掛けた $\frac{8}{9}$ であることに注意する。

別解

$x = 0$ での連続条件は $1 + r = t$ 、 $ik (1 - r) = i q t$ 。第 1 式を代入して $k (1 - r) = q (1 + r)$ より
$r = \frac{k - q}{k + q}, t = 1 + r = \frac{2 k}{k + q} .$
波数の比は $\frac{q}{k} = \frac{E - V _{0}}{E} = \frac{1/3}{4/3} = \frac{1}{2}$ なので $t = \frac{2}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{4}{3}$ 、 $r = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$ 。
確率流密度は $j_{入射} = \frac{ℏ k}{m}$ 、 $j_{透過} = \frac{ℏ q}{m} ∣ t ∣^{2}$ なので
$T = \frac{q}{k} ∣ t ∣^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{8}{9} .$
検算: 反射率 $R = ∣ r ∣^{2} = \frac{1}{9}$ で $R + T = \frac{1}{9} + \frac{8}{9} = 1$ （確率の保存）。

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