量子力学（1 次元の問題）の問題

質量 $m$ の粒子が、1 次元の階段型ポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x<0)\\ V_0& (x\geqq 0)\end{array}(V_0>0)$$
に $x<0$ の側から $x$ 軸の正の向きに入射する。粒子のエネルギーは $E=\frac{4}{3}{V}_0$ である（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。粒子は時間に依存しないシュレーディンガー方程式に従い、波動関数とその 1 階導関数は $x=0$ で連続とする。$x>0$ には右向きに進む透過波だけがあるとして、透過率 $T$（入射波の確率流密度に対する透過波の確率流密度の比）を既約分数で求めよ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元のポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x<0)\\ V_0& (x\ge 0)\end{array}$$
に、$x<0$ の側から左から右へ入射する。$V_0>0$ とし、粒子のエネルギーを $E=\frac{4}{3}{V}_0$ とする（$E>V_0$）。

波動関数を
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{ikx}+r{e}^{-ikx}& (x<0)\\ t{e}^{iqx}& (x\ge 0)\end{array}$$
とおく。ただし $k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }$, $q=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hslash }$ であり、$r$, $t$ は定数である。$x=0$ で $\psi$ と ${\psi }^{\prime }$ が連続であるとする。

確率流密度 $j=\frac{\hslash }{m}\mathrm{Im}({\psi }^{\ast }{\psi }^{\prime })$ を用いて、透過率 $T=\frac{j_{\text{透過}}}{j_{\text{入射}}}$ を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元の引力的なデルタ関数ポテンシャル
$$V(x)=-g\delta (x)(g>0)$$
の中にある。時間に依存しないシュレーディンガー方程式
$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\psi }^{\prime \prime }(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$$
の束縛状態（$E<0$）を考える。$x\ne 0$ では $V=0$ であり、$x\to \pm \infty$ で $\psi \to 0$ となる解は
$$\psi (x)=A{e}^{-\kappa |x|}\left(\kappa =\frac{\sqrt{-2mE}}{\hslash }>0,A\ne 0\right)$$
の形をしている。$\psi$ は $x=0$ で連続であり、${\psi }^{\prime }$ はデルタ関数ポテンシャルによる跳びの条件を満たすとする。

この束縛状態のエネルギー $E$ を、$m$, $g$, $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元の井戸型ポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}-V_0& (|x|<a)\\ 0& (|x|\ge a)\end{array}(V_0>0,a>0)$$
の中にある。束縛状態（$-V_0<E<0$）について
$$k=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hslash },\kappa =\frac{\sqrt{-2mE}}{\hslash },\xi =ka,\eta =\kappa a(\xi >0,\eta >0)$$
とおくと、$x=\pm a$ での接続条件から、偶関数の解は $\xi \tan \xi =\eta$、奇関数の解は $-\xi \cot \xi =\eta$ を満たし、さらに ${\xi }^2+{\eta }^2=\frac{2m{V}_0{a}^2}{{\hslash }^2}$ が成り立つ（$\hslash$ はディラック定数）。井戸の深さが $V_0=\frac{25{\pi }^2{\hslash }^2}{32m{a}^2}$ のとき、この井戸の束縛状態の数を求めよ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L)\\ \infty & (x\le 0,x\ge L)\end{array}$$
の中に閉じこめられている（$L>0$）。$\hslash$ をディラック定数とする。この粒子のエネルギー固有値を小さい順に $E_1<E_2<E_3<\cdots$ とするとき、差 $E_3-E_2$ を $m$, $L$, $\hslash$ を用いて表せ。